Calculateur d'inverse multiplicatif modulaire

Un inverse multiplicatif modulo m est un entier qui annule l'effet d'une multiplication en arithmétique modulaire. Pour un entier a, un inverse x vérifie que a fois x laisse un reste de 1 après division par m. On écrit généralement que a fois x est congru à 1 modulo m. Par exemple, 3 fois 4 vaut 12, et 12 divisé par 11 laisse un reste de 1 : 4 est donc l'inverse multiplicatif de 3 modulo 11. Tous les couples d'entiers n'admettent pas d'inverse. La condition nécessaire et suffisante est que a et m soient premiers entre eux, autrement dit que leur plus grand commun diviseur soit 1. Prenons 6 modulo 9 : chaque multiple de 6 partage le facteur 3 avec 9, donc aucun ne peut laisser un reste de 1. À l'inverse, le PGCD de 7 et 26 vaut 1, et l'inverse de 7 modulo 26 est 15, car 105 divisé par 26 laisse un reste de 1. Le calculateur vérifie le PGCD avant de fournir une réponse. L'algorithme d'Euclide étendu trouve efficacement l'inverse. La version ordinaire répète divisions et calculs de restes pour obtenir le plus grand commun diviseur. La version étendue suit aussi les coefficients afin d'exprimer le PGCD comme combinaison entière des valeurs initiales. Lorsque le PGCD vaut 1, le coefficient de a est un inverse. Ce coefficient pouvant être négatif, le calculateur le réduit modulo m et affiche le plus petit représentant non négatif, de zéro à m moins un. Les inverses modulaires permettent de diviser dans un système de congruences. Pour résoudre a fois x congru à b modulo m, multipliez b par l'inverse de a, s'il existe. Ils interviennent dans les congruences linéaires, le théorème chinois des restes, les fractions modulaires, le hachage, la détection d'erreurs et la cryptographie à clé publique. La génération de clés RSA comprend par exemple le calcul de l'inverse d'un exposant modulo une valeur de l'indicatrice d'Euler. Les véritables implémentations cryptographiques utilisent des bibliothèques de précision arbitraire soigneusement auditées, plutôt que les nombres ordinaires du navigateur. Saisissez uniquement des entiers et un module supérieur à 1. Les valeurs négatives de a sont admises, car chaque entier négatif possède un résidu minimal non négatif équivalent modulo m. Le calculateur utilise les entiers sûrs de JavaScript, adaptés aux exercices scolaires et aux problèmes de théorie des nombres de taille modérée. Il affiche le PGCD et une vérification par multiplication pour confirmer que l'inverse donne bien un reste de 1. Pour de très grandes valeurs cryptographiques, utilisez un logiciel conçu pour les grands entiers et les calculs sensibles sur le plan de la sécurité.