Calculateur d'inverse multiplicatif

Un inverse multiplicatif est une valeur qui annule l'effet d'une multiplication. En arithmétique ordinaire, l'inverse d'un nombre non nul a est 1 divisé par a, car le produit de a par 1 divisé par a vaut 1. L'inverse de 8 est 0.125, celui d'un demi est 2 et celui d'un nombre négatif est également négatif. Zéro n'a pas d'inverse multiplicatif, car aucune valeur finie multipliée par zéro ne peut donner 1. L'arithmétique modulaire utilise une définition apparentée, mais distincte. L'inverse d'un entier a modulo m est un entier x tel que le produit de a par x laisse un reste de 1 après division par m. Par exemple, l'inverse de 7 modulo 26 est 15, car 7 fois 15 vaut 105 et 105 mod 26 vaut 1. Les inverses modulaires ne correspondent généralement pas aux inverses décimaux. Ils appartiennent à un ensemble fini de classes de restes : ajouter ou soustraire un multiple quelconque du module donne un autre représentant de la même réponse modulaire. Un inverse modulaire existe exactement lorsque le nombre et le module sont premiers entre eux, c'est-à-dire lorsque leur plus grand commun diviseur vaut 1. Le calculateur vérifie cette condition avec l'algorithme d'Euclide étendu. Celui-ci trouve les coefficients reliant les valeurs saisies à leur plus grand commun diviseur. Si ce dernier vaut 1, le coefficient associé au nombre est réduit modulo m pour obtenir le plus petit inverse non négatif. Si les entrées ont un facteur commun supérieur à 1, aucun produit ne peut avoir pour reste 1 ; le calculateur signale donc l'absence de l'inverse demandé. Choisissez l'inverse ordinaire pour les fractions, les changements d'échelle, les divisions algébriques, les taux et les calculs réels. Choisissez l'inverse modulaire pour les congruences, la théorie des nombres, la cryptographie, les sommes de contrôle et les algorithmes sur les entiers. Les entrées modulaires doivent être des entiers représentables sans perte de précision, et le module doit être supérieur à 1. Les entiers négatifs sont acceptés comme nombre, car ils peuvent être ramenés à un reste équivalent avant l'interprétation de l'inverse. Les inverses multiplicatifs sont essentiels pour résoudre des équations. Multiplier les deux membres d'une équation ordinaire par un inverse élimine un coefficient non nul. Dans une équation modulaire, multiplier par l'inverse modulaire isole une variable uniquement si cet inverse existe. La cryptographie à clé publique applique ce principe à des entiers bien plus grands, mais les usages cryptographiques en production exigent des logiciels spécialisés à précision arbitraire et à temps constant. Ce calculateur sert à apprendre, vérifier des devoirs et résoudre des exemples arithmétiques de taille modérée, en distinguant clairement les deux notions d'inverse.