Calculateur de droite d'intersection de deux plans

Trouvez un point, un vecteur directeur et une équation paramétrique de la droite commune à deux plans en 3D.

Saisir deux équations de plans
Utilisez les coefficients de ax + by + cz + d = 0.
Plan 1
Plan 2

À propos de la droite d'intersection

Deux plans non parallèles dans l'espace à trois dimensions se coupent suivant une droite. Ce calculateur accepte chaque plan sous la forme standard ax + by + cz + d = 0 et renvoie un point de leur droite commune, un vecteur directeur et une équation vectorielle paramétrique. Les quatre coefficients décrivent l'orientation et le décalage de chaque plan. Multiplier tous les coefficients d'une équation par un même nombre non nul ne modifie pas le plan. La direction de la droite d'intersection provient du produit vectoriel des normales aux deux plans. Un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 a pour vecteur normal (a, b, c). Un vecteur perpendiculaire aux deux normales est parallèle aux deux plans ; le produit vectoriel de n1 et n2 donne donc une direction valable. Le calculateur fixe ensuite une coordonnée et résout les deux équations simultanées restantes pour trouver un point pratique sur la droite. Tout multiple scalaire non nul du vecteur directeur affiché représente la même droite géométrique, et un autre point peut aussi décrire la même solution. Si le produit vectoriel est le vecteur nul, les normales sont parallèles. Les plans sont alors soit distincts et sans intersection, soit confondus et partagent une infinité de droites. Aucun de ces cas ne possède une droite d'intersection unique : le calculateur le signale au lieu d'inventer un résultat. Les très petites valeurs sont traitées avec soin pour éviter l'affichage d'un zéro négatif dû aux calculs en virgule flottante. Les droites d'intersection interviennent en géométrie analytique, infographie, CAO, modélisation des structures et calcul multivariable. Pour vérifier un résultat, remplacez les coordonnées dans les deux équations initiales par celles du point affiché. Vous pouvez aussi ajouter à ce point un multiple quelconque du vecteur directeur : chaque triplet obtenu doit satisfaire les deux équations. La forme paramétrique est particulièrement utile pour trouver des points, tester des intersections avec d'autres objets ou passer à la forme symétrique lorsque toutes les composantes de direction sont non nulles.

Exemples

Ces paires de plans illustrent des configurations d'intersection courantes.

Équations des plansIntersectionVérification
x + y + z - 1 = 0; x - y + z - 1 = 0r = (0, 0, 1) + t(2, 0, -2)Les deux expressions valent zéro sur toute la droite.
x + y - 2 = 0; z - 3 = 0r = (2, 0, 3) + t(1, -1, 0)La droite reste dans le plan horizontal z = 3.
x = 0; y = 0r = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1)Les deux plans de coordonnées se coupent sur l'axe z.

Comment utiliser le calculateur

  1. Réécrivez chaque équation avec tous les termes à gauche et zéro à droite.
  2. Saisissez les coefficients de x, y, z et le terme constant du Plan 1.
  3. Saisissez les quatre coefficients correspondants du Plan 2.
  4. Sélectionnez Calculer l'intersection pour obtenir un point, une direction et une équation paramétrique.

Questions fréquentes

Comment trouve-t-on le vecteur directeur ?

Le calculateur effectue le produit vectoriel des deux vecteurs normaux. Le résultat est perpendiculaire aux deux normales, donc parallèle aux deux plans.

Pourquoi ma réponse peut-elle différer d'une autre réponse correcte ?

Une droite possède une infinité de points et son vecteur directeur peut être multiplié par tout scalaire non nul. Des équations paramétriques différentes peuvent donc décrire exactement la même droite.

Que se passe-t-il si les plans sont parallèles ?

Des normales parallèles ont un produit vectoriel nul : aucune direction unique ne peut être calculée. Des plans parallèles distincts ne se coupent jamais, tandis que des plans confondus partagent une infinité de droites.

Comment vérifier le résultat ?

Substituez le point affiché dans les deux équations et vérifiez que chaque expression vaut zéro. Vérifiez ensuite que le produit scalaire de chaque normale avec le vecteur directeur est nul.

Le coefficient d doit-il être négatif ?

Non, d peut être positif, négatif ou nul. Saisissez simplement l'équation sous la forme exacte ax + by + cz + d = 0.