Calculateur de notation des intervalles

La notation des intervalles décrit de façon compacte tous les nombres réels situés entre deux bornes. Ce calculateur lit un seul intervalle et le traduit en une inégalité équivalente portant sur x. Dans la notation utilisée ici, un intervalle commence par une parenthèse ou un crochet, indique les bornes inférieure et supérieure séparées par une virgule, puis se termine par une parenthèse ou un crochet. Les bornes doivent être écrites de la plus petite à la plus grande. Un crochet signifie qu’une borne finie appartient à l’intervalle. Par exemple, [2, 6] inclut 2 et 6 et correspond à 2 inférieur ou égal à x, lui-même inférieur ou égal à 6. Une parenthèse signifie que la borne est exclue. Ainsi, (2, 6) contient les valeurs strictement comprises entre 2 et 6, mais aucune des deux bornes. Un intervalle semi-ouvert comme (-2, 4] exclut la borne inférieure et inclut la borne supérieure. Les symboles d’infini indiquent qu’un intervalle se prolonge sans fin dans une direction. L’infini n’étant pas un nombre réel que l’on peut atteindre ou inclure, une borne infinie utilise toujours une parenthèse dans cette notation. L’intervalle [3, infinity) signifie que x est supérieur ou égal à 3. L’intervalle (-infinity, 7) signifie que x est inférieur à 7. Un crochet à côté de l’infini laisserait entendre, à tort, que l’infini appartient à l’ensemble des nombres réels. Les intervalles sont omniprésents en algèbre et en analyse. Ils décrivent les domaines de définition, les ensembles images, les ensembles de solutions, les zones de croissance et de décroissance, la continuité, les intervalles de confiance et les valeurs admissibles des paramètres. Par rapport à une longue inégalité, cette notation rend immédiatement visible l’inclusion des bornes. Elle se combine aussi naturellement avec le symbole d’union lorsque la solution comporte des parties disjointes, même si ce calculateur traite un seul intervalle continu à la fois. Une représentation sur une droite graduée permet une vérification visuelle. Dessinez un cercle vide pour une parenthèse et un cercle plein pour un crochet, puis colorez toutes les valeurs entre les bornes. Pour un intervalle infini, tracez une flèche dans le sens du prolongement. L’inégalité produite doit décrire exactement les mêmes cercles et la même zone colorée. Une borne gauche finie se compare à x avec un signe inférieur, tandis qu’une borne droite finie se compare depuis x vers la limite. L’ordre des symboles compte. Les parenthèses peuvent délimiter un intervalle ou regrouper des expressions dans d’autres contextes mathématiques : une virgule et deux bornes sont donc nécessaires pour reconnaître un intervalle. Les crochets apparaissent aussi dans les matrices et les listes, mais la forme à deux bornes précise ici leur sens. Les bornes décimales et négatives sont acceptées comme des limites réelles ordinaires. Pour vérifier une interprétation, testez un point intérieur, puis chaque borne finie. Tous les points intérieurs doivent satisfaire l’inégalité obtenue. Une borne ne doit la satisfaire que si le symbole correspondant est un crochet. Cette méthode repère rapidement les signes inversés, les bornes incluses à tort et les extrémités saisies dans le mauvais ordre.