Calculateur de factorisation de trinômes

Factorisez les trinômes du second degré ax² + bx + c en produits de binômes à coefficients entiers.

Factoriser un trinôme du second degré

Saisissez les coefficients entiers de ax² + bx + c. Le coefficient dominant doit être non nul.

Coefficient a

Coefficient b

Coefficient c

À propos de la factorisation des trinômes

Factoriser un trinôme du second degré inverse la multiplication des polynômes. Une expression ax² + bx + c s'écrit comme produit de deux binômes du premier degré lorsque des facteurs entiers existent. Ainsi, x² + 5x + 6 devient (x + 2)(x + 3). Le développement donne x² + 3x + 2x + 6, qui se réduit à l'expression initiale. Pour un trinôme unitaire, où a vaut 1, cherchez deux entiers dont le produit vaut c et la somme b. Ces entiers deviennent les constantes des facteurs. Les signes comptent : x² - 5x + 6 exige deux constantes négatives et donne (x - 2)(x - 3), car leur produit vaut 6 positif et leur somme 5 négatif. Si le coefficient dominant n'est pas 1, la méthode AC fournit une démarche systématique. Multipliez a par c, cherchez deux entiers de produit ac et de somme b, décomposez le terme central avec ces valeurs, puis factorisez par regroupement. Pour 2x² + 7x + 3, ac vaut 6 et les nombres utiles sont 6 et 1. Regrouper 2x² + 6x + x + 3 donne (x + 3)(2x + 1). Le discriminant b² - 4ac indique rapidement si des facteurs linéaires rationnels sont possibles. S'il est négatif, le trinôme n'a pas de racines réelles et ne se décompose pas en facteurs linéaires réels. S'il est positif ou nul mais non carré parfait avec des coefficients entiers, les racines sont irrationnelles et aucune factorisation en binômes entiers n'existe. Le calculateur indique alors une absence de factorisation sur les entiers plutôt que de forcer un produit incorrect. Les identités remarquables accélèrent le calcul. Une différence de carrés comme x² - 9 se factorise en (x - 3)(x + 3). Un carré parfait comme x² + 6x + 9 donne (x + 3)(x + 3). Si tous les coefficients ont un plus grand diviseur commun, extrayez-le d'abord et placez-le devant le produit. La forme factorisée révèle les zéros d'une équation du second degré. Si un produit de deux facteurs est nul, on peut annuler chaque facteur pour trouver les racines. Cela sert aux intersections avec l'axe horizontal, aux équations de temps des projectiles, aux modèles d'aire et à la simplification algébrique. Vérifiez toujours en multipliant les binômes : les coefficients de x², de x et le terme constant doivent correspondre exactement au trinôme initial.

Exemples de factorisation de trinômes

Ces exemples couvrent les cas unitaires, non unitaires, remarquables et non factorisables.

Trinôme	Forme factorisée	Méthode
x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)	Deux nombres de produit 6 et de somme 5.
2x² + 7x + 3	(x + 3)(2x + 1)	Utilisez la méthode AC et le regroupement.
x² - 9	(x - 3)(x + 3)	Différence de carrés.
x² + x + 1	Non factorisable sur les entiers	Le discriminant est négatif.

Comment factoriser un trinôme

Saisissez le coefficient entier de x² dans a, avec 1 s'il n'est pas écrit.
Saisissez le coefficient signé de x dans b, avec 0 si ce terme est absent.
Saisissez la constante avec son signe dans c.
Sélectionnez Factoriser le trinôme pour chercher des facteurs binomiaux entiers.
Développez le produit affiché mentalement ou sur papier pour vérifier le résultat.

Questions sur la factorisation de trinômes

Que signifie factorisable sur les entiers ?

Le polynôme peut s'écrire comme produit de facteurs à coefficients entiers. Certains trinômes ont des racines irrationnelles ou complexes non réelles et n'admettent donc pas de facteurs binomiaux entiers.

Comment le discriminant aide-t-il à factoriser ?

Avec des coefficients entiers, un discriminant positif ou nul qui est un carré parfait indique des racines rationnelles et une factorisation entière après extraction du facteur commun. Un discriminant négatif ou non carré exclut cette forme.

Que se passe-t-il si a est nul ?

L'expression devient linéaire plutôt que quadratique et n'a plus la forme demandée. Ce calculateur exige un coefficient dominant non nul.

Le calculateur traite-t-il les différences de carrés ?

Oui, saisissez zéro pour le coefficient central. Par exemple, les coefficients 1, 0 et -9 donnent (x - 3)(x + 3).

Comment vérifier la réponse ?

Multipliez les binômes par distributivité ou avec la méthode FOIL, puis regroupez les termes semblables. Les trois coefficients obtenus doivent correspondre exactement à a, b et c.