Calculateur SVD

La décomposition en valeurs singulières, généralement abrégée SVD, factorise une matrice réelle en trois matrices de structure particulière. Selon l'équation usuelle, la matrice d'origine est égale au produit de U, de Sigma et de V transposée. U et V sont orthogonales : leurs colonnes forment des directions unitaires perpendiculaires. Sigma est diagonale et contient des valeurs singulières positives ou nulles, classées par ordre décroissant. Ce calculateur effectue cette décomposition pour toute matrice réelle deux par deux. Le calcul commence par la matrice symétrique obtenue en multipliant la transposée de l'entrée par l'entrée elle-même. Ses valeurs propres sont toujours positives ou nulles, à de faibles erreurs d'arrondi flottant près. Leurs racines carrées sont les valeurs singulières, et leurs vecteurs propres normalisés deviennent les colonnes de V. En multipliant la matrice d'origine par chaque vecteur singulier droit puis en divisant par sa valeur singulière non nulle, on obtient la colonne correspondante de U. Lorsqu'une valeur singulière est nulle, le calculateur complète une base orthonormée de façon déterministe afin de conserver des facteurs valides. Les valeurs singulières décrivent l'étirement de l'espace par une matrice selon des directions particulières. Une première valeur élevée et une seconde nettement plus faible indiquent que l'essentiel de la transformation se concentre dans une direction. Une seconde valeur nulle signifie que la matrice est de rang un ou zéro et réduit le plan à une droite ou à un point. Le rapport entre la plus grande valeur singulière et la plus petite non nulle est lié au conditionnement numérique, mais cette page affiche la décomposition elle-même, et non un nombre de conditionnement. La SVD intervient dans l'ajustement par moindres carrés, les pseudo-inverses, la réduction de dimension, la compression d'images, les systèmes de recommandation, le traitement du signal et le filtrage du bruit. Contrairement à la décomposition en valeurs propres, elle existe pour toute matrice réelle, sans se limiter aux matrices symétriques ou carrées. Ce calculateur de Phase 1 limite volontairement l'entrée aux matrices deux par deux afin de proposer une implémentation compacte, transparente, sans dépendances et au format prévisible. Les principes sous-jacents s'étendent toutefois directement aux matrices rectangulaires de toute taille. Les résultats sont arrondis à six décimales et les zéros superflus sont supprimés. Les facteurs orthogonaux ne sont pas mathématiquement uniques : les signes des colonnes correspondantes de U et V peuvent être inversés simultanément sans modifier leur produit, et des valeurs singulières répétées autorisent d'autres rotations dans un sous-espace. Un autre logiciel SVD fiable peut donc afficher des signes ou des vecteurs de base différents tout en reconstruisant exactement la même entrée. Ce calculateur choisit une orientation cohérente pour stabiliser les saisies répétées et les exemples de référence.