Calculadora de pseudoinversa

La pseudoinversa de Moore-Penrose extiende la idea de matriz inversa a matrices rectangulares y a sistemas que no tienen una inversa ordinaria única. Se escribe A+ y es la única matriz que satisface cuatro condiciones de consistencia relativas a A, A+ y sus transpuestas. En una matriz cuadrada invertible, la pseudoinversa coincide exactamente con la inversa ordinaria. En una matriz alta o ancha de rango completo, proporciona la transformación análoga a una inversa necesaria para cálculos de mínimos cuadrados y norma mínima. Esta calculadora acepta matrices escritas fila por fila. Separa las entradas con comas o espacios y las filas con punto y coma. Si hay al menos tantas filas como columnas y las columnas son independientes, evalúa la inversa de (A transpuesta A) multiplicada por A transpuesta. Si hay más columnas que filas y las filas son independientes, evalúa A transpuesta multiplicada por la inversa de (A A transpuesta). Ambas son fórmulas estándar de rango completo de la inversa de Moore-Penrose. La inversa cuadrada necesaria se calcula mediante eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo. Una aplicación habitual es un sistema lineal sobredeterminado A x = b, con más ecuaciones que incógnitas y sin un vector que satisfaga todas exactamente. Multiplicar b por A+ devuelve la solución de mínimos cuadrados que minimiza el residuo al cuadrado. En un sistema subdeterminado de rango fila completo, A+ da la solución exacta con menor norma euclídea. Estas propiedades hacen útil la pseudoinversa en regresión, procesamiento de señales, control, robótica, optimización numérica, ajuste de datos y aprendizaje automático. El rango importa. Las cómodas fórmulas de ecuaciones normales requieren columnas o filas independientes. Una matriz de rango deficiente hace singular A transpuesta A o A A transpuesta, por lo que esta implementación informa de la limitación en vez de devolver un valor inestable. Una descomposición en valores singulares general puede tratar la deficiencia de rango invirtiendo solo los valores singulares superiores a una tolerancia numérica. Para problemas grandes, mal condicionados o de rango deficiente, usa una biblioteca numérica especializada con una rutina basada en SVD y revisa su tolerancia. La aritmética de punto flotante también influye. Las entradas mostradas se redondean a seis decimales, mientras los cálculos conservan la doble precisión de JavaScript. Las grandes diferencias de escala pueden amplificar el error de redondeo porque las ecuaciones normales elevan al cuadrado el número de condición. Reescalar columnas puede ayudar, pero el trabajo numérico profesional debería preferir QR o SVD. Para ejemplos de clase y matrices pequeñas de rango completo, esta calculadora permite obtener y examinar la pseudoinversa sin realizar a mano varias multiplicaciones y pasos de eliminación.