Calculadora de números complejos

Un número complejo combina una parte real y una imaginaria en la forma a + bi, donde i² = -1. El coeficiente real a sitúa el número horizontalmente en el plano complejo, mientras que el coeficiente imaginario b lo sitúa verticalmente. Los números complejos amplían el sistema de los reales para que ecuaciones como x² + 1 = 0 tengan soluciones y ofrecen un lenguaje compacto para oscilaciones, rotaciones, impedancia eléctrica, ondas y muchos otros modelos matemáticos. La suma y la resta operan componente por componente. Para sumar a + bi y c + di, suma a con c y b con d. La resta usa la misma estructura con diferencias. Es análogo a sumar o restar vectores bidimensionales. Mantener los términos reales e imaginarios en columnas separadas es una forma fiable de evitar errores de signo, especialmente cuando uno o más coeficientes son negativos. La multiplicación utiliza la propiedad distributiva habitual junto con i² = -1. Al desarrollar (a + bi)(c + di) se obtiene ac + adi + bci + bdi². Sustituir i² por -1 y agrupar términos produce la parte real ac - bd y la parte imaginaria ad + bc. La multiplicación también tiene una interpretación geométrica: los módulos se multiplican y los argumentos se suman, por lo que combina un cambio de escala con una rotación en el plano complejo. La división racionaliza el denominador mediante su conjugado. Multiplicar el numerador y el denominador de (a + bi)/(c + di) por c - di convierte el denominador en c² + d². La parte real del resultado es (ac + bd)/(c² + d²) y la imaginaria es (bc - ad)/(c² + d²). La división solo queda indefinida cuando c y d son ambos cero, porque entonces el módulo al cuadrado del denominador es cero. La calculadora admite enteros, negativos y decimales en los cuatro coeficientes. Los resultados se calculan con aritmética de doble precisión y se redondean a ocho decimales para mostrarlos. Los residuos de coma flotante muy pequeños se muestran como cero. La respuesta permanece en forma rectangular para que sus componentes real e imaginaria sean visibles de inmediato; los signos se ajustan automáticamente, incluido el signo menos cuando el resultado imaginario es negativo. La aritmética compleja se usa en álgebra, sistemas de control, comunicaciones, mecánica cuántica, dinámica de fluidos y procesamiento de señales. Aunque el cálculo lo realice un programa, entender las fórmulas por componentes ayuda a interpretar el resultado y detectar errores. Usa la explicación bajo cada respuesta como recordatorio breve de la regla y comprueba las divisiones importantes multiplicando el cociente por el divisor original.