Calculadora SVD

Descompón una matriz de dos por dos en U, valores singulares y V transpuesta con resultados numéricos deterministas.

Descomposición en valores singulares

Introduce exactamente dos filas; separa los valores con comas y las filas con un punto y coma.

Matriz de entrada

Usa comas entre los valores y un punto y coma entre las dos filas.

Acerca de la descomposición en valores singulares

La descomposición en valores singulares, abreviada habitualmente como SVD, factoriza una matriz real en tres matrices con estructuras específicas. La ecuación convencional indica que la matriz original es igual a U por Sigma por V transpuesta. U y V son matrices ortogonales, por lo que sus columnas forman direcciones unitarias perpendiculares. Sigma es diagonal y contiene valores singulares no negativos ordenados de mayor a menor. Esta calculadora realiza esa descomposición para cualquier matriz real de dos por dos. El cálculo comienza con la matriz simétrica que se obtiene al multiplicar la transpuesta de la entrada por la propia entrada. Sus valores propios siempre son no negativos, salvo pequeños efectos de coma flotante. Sus raíces cuadradas son los valores singulares y sus vectores propios normalizados forman las columnas de V. Al multiplicar la matriz original por cada vector singular derecho y dividir por su valor singular no nulo, se obtiene la columna correspondiente de U. Si un valor singular es cero, la calculadora completa una base ortonormal de forma determinista para mantener la validez de los factores mostrados. Los valores singulares describen cuánto estira una matriz el espacio en ciertas direcciones. Un primer valor grande y un segundo mucho menor indican que la mayor parte de la transformación se concentra en una dirección. Un segundo valor nulo significa que la matriz tiene rango uno o cero y reduce el plano a una recta o un punto. La razón entre el mayor valor singular y el menor no nulo está relacionada con el condicionamiento numérico, aunque esta página muestra la descomposición y no un número de condición. La SVD se utiliza en ajustes por mínimos cuadrados, pseudoinversas, reducción de dimensionalidad, compresión de imágenes, sistemas de recomendación, procesamiento de señales y filtrado de ruido. A diferencia de la descomposición en valores propios, existe para toda matriz real y no se limita a entradas simétricas o cuadradas. Esta calculadora de Fase 1 restringe deliberadamente la entrada a matrices de dos por dos para ofrecer una implementación compacta, transparente, sin dependencias y con un formato predecible. Sin embargo, sus principios se extienden directamente a matrices rectangulares de cualquier tamaño. Los resultados se redondean a seis decimales y se eliminan los ceros innecesarios. Los factores ortogonales no son matemáticamente únicos: los signos de columnas correspondientes de U y V pueden invertirse a la vez sin modificar el producto, y los valores singulares repetidos permiten rotaciones adicionales dentro de un subespacio. Por eso, otro paquete SVD fiable puede mostrar signos o vectores de base diferentes y reconstruir exactamente la misma entrada. Esta calculadora elige una orientación uniforme para que las entradas repetidas y los ejemplos de referencia produzcan resultados estables.

Ejemplos de SVD

Matriz de entrada	Valores singulares	Observación
3,0;0,2	3, 2	Una matriz diagonal positiva ya está alineada con sus direcciones singulares.
4,0;0,1	4, 1	La matriz estira el primer eje cuatro veces y deja el segundo sin cambios.
1,0;0,0	1, 0	Un valor singular nulo identifica una matriz de rango uno.
0,2;2,0	2, 2	Valores singulares iguales indican el mismo estiramiento en dos direcciones perpendiculares.

Cómo usar la calculadora SVD

Escribe la primera fila como dos números separados por una coma.
Añade un punto y coma y escribe la segunda fila, también separada por una coma.
Selecciona Calcular SVD.
Consulta los valores singulares y las matrices U, Sigma y V transpuesta.

Preguntas frecuentes sobre la calculadora SVD

¿Qué representan los valores singulares?

Miden el estiramiento en ciertas direcciones perpendiculares. Los valores mayores representan un escalado más intenso, mientras que un valor nulo indica una dimensión colapsada.

¿Por qué U y V son ortogonales?

Sus columnas son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. La ortogonalidad conserva longitudes y ángulos, por lo que estos factores representan rotaciones o reflexiones, no un escalado adicional.

¿Pueden ser correctas dos respuestas SVD diferentes?

Sí. Se pueden invertir ambos signos de vectores singulares emparejados sin cambiar la matriz reconstruida. Los valores singulares repetidos también permiten distintas bases ortonormales válidas.

¿La calculadora admite matrices rectangulares?

No. Esta implementación de Fase 1 solo acepta matrices reales arbitrarias de dos por dos. Las matrices mayores y rectangulares necesitan una rutina de descomposición numérica más general.

¿Qué significa un valor singular nulo?

Significa que la matriz pierde al menos una dirección independiente y es singular. En una matriz de dos por dos, un valor positivo y otro nulo indican rango uno.