Rechner für die harmonische Reihe

Die harmonische Reihe entsteht durch Addition der Kehrwerte positiver ganzer Zahlen: eins, ein Halb, ein Drittel, ein Viertel und so weiter. Die endliche Summe bis zum n-ten Kehrwert heißt n-te harmonische Zahl und wird meist als H mit Index n geschrieben. Dieser Rechner wertet die endliche Summe direkt aus und berücksichtigt jeden Term bis zur gewünschten Grenze. Beginnen Sie zur Berechnung einer harmonischen Zahl bei null und addieren Sie eins geteilt durch jede ganze Zahl von eins bis n. Für fünf Terme lautet die Rechnung 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5, was ungefähr 2.2833333333 ergibt. Für zehn Terme beträgt das Ergebnis etwa 2.9289682540. Jeder neue Term ist kleiner als der vorherige. Die Partialsummen wachsen daher stetig, aber zunehmend langsamer. Obwohl die addierten Brüche gegen null gehen, divergiert die unendliche harmonische Reihe. Ihre Partialsummen besitzen keine endliche obere Schranke. Dieses bekannte Ergebnis zeigt, dass gegen null gehende Terme für die Konvergenz einer unendlichen Reihe notwendig, aber nicht hinreichend sind. Das Wachstum ist logarithmisch: Deutlich größere Summen erfordern erheblich mehr Terme. Die harmonische Zahl liegt nahe am natürlichen Logarithmus von n plus der Euler-Mascheroni-Konstante von ungefähr 0.57721. Einfache Integralvergleiche liefern nützliche Kontrollen für das exakte endliche Ergebnis. Der natürliche Logarithmus von n plus eins ist kleiner als die n-te harmonische Zahl; diese ist kleiner als eins plus der natürliche Logarithmus von n. Der Rechner zeigt diese untere und obere Schranke. Mit wachsendem n werden sie relativ enger und erklären das logarithmische Wachstum, ohne die direkte Summation zu ersetzen. Harmonische Zahlen treten in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik auf. Sie beschreiben erwartete Kosten randomisierter Algorithmen, die durchschnittliche Zahl von Vergleichen in bestimmten Datenstrukturen, das Sammelbilderproblem, Teilersummen und Wahrscheinlichkeitsmodelle. In Physik und Technik erscheinen verwandte Kehrwertsummen bei Resonanz und Signalanalyse. Musikern ist der Begriff harmonisch aus anderem Zusammenhang bekannt; dieser Rechner behandelt jedoch die mathematische Kehrwertreihe und keine akustischen Obertonfrequenzen. Geben Sie eine positive ganze Zahl bis höchstens eine Million ein. Die Summe wird mit zehn Nachkommastellen angezeigt; intern wird JavaScript-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit verwendet. Für extrem große Indizes können spezielle Näherungen schneller sein und Gleitkommafehler genauer kontrollieren. Im angegebenen Bereich liefert die direkte Summation ein transparentes und verlässliches Lernergebnis.