螺線長度計算機

阿基米德螺線是一種極座標曲線，其半徑隨角度變化而以固定速率改變。方程式為 r = a + bθ，其中 a 是角度為零時的半徑，b 是每弧度的徑向增量，θ 是以弧度表示的角度。因此，相等的角度增量會產生相等的半徑變化，使相鄰各圈保持固定間距。這種常見螺線出現在捲材、溝槽、線圈、天線及數學模型中。 對數螺線則使用 r = a 乘以 e 的 bθ 次方。其半徑在相等的角度增量內按固定比例變化，因此圈距以等比而非等差方式擴大。對數螺線可見於生長模型、天線設計及自然形態。本計算機支援這兩類螺線，並依所選方程式套用對應的精確反導函數。 計算螺線長度不能只把平均半徑乘以角度，因為曲線會同時繞原點旋轉並沿徑向移動。對極座標曲線而言，弧長積分的被積函數是 r 的平方加上 r 對 θ 的導數平方，再取平方根。阿基米德螺線的導數就是 b；對數螺線的導數則為 b 乘以當下半徑，因此可得到簡潔的指數形式長度公式。 本工具採用封閉形式公式求值，而非將曲線切成許多短直線段。當 b 為零時，兩種螺線的半徑均固定，成為圓弧；此時計算機使用較簡單的半徑乘以角度跨度公式。以度輸入的角度，會在套用任何公式前先轉為弧度。 初始半徑與成長值的意義須依所選模型判讀。阿基米德螺線的徑向增量單位為長度每弧度，對數螺線的指數係數則無因次。所得弧長與初始半徑使用相同單位。負成長表示螺線隨角度增加向內捲繞，長度仍為非負值。 實際製造的線圈有厚度、變形與公差，理想中心線模型並未納入這些因素。規劃材料長度時，請使用帶材或線材的中心線半徑，並預留實務上的餘量。結果顯示至小數點後六位，便於閱讀；內部運算則保留標準雙精確度。