帕隆多悖论计算器

帕隆多悖论描述了一个违反直觉的概率现象：两个单独进行时都会亏损的博弈，在交替进行或随机混合后，却可能产生正期望收益。这并非凭空创造概率，而是改变了玩家资本处于不同状态的频率。博弈 B 在资本可被周期长度整除时使用一枚硬币，否则使用另一枚，因此未来的胜率取决于当前余数。 博弈 A 的胜率恒定。由于每次获胜增加一个单位资本、失败减少一个单位，其每次期望变化就是胜率的两倍减一。博弈 B 则需更细致的处理。每次博弈后，资本会在不同余数状态间转移，这些状态的长期出现频率通常并不均匀。本计算器根据所选周期长度构建转移过程，通过迭代求得稳态分布，再按各状态的稳态概率对其输赢期望加权。 对于混合博弈，计算器先在每个余数状态下，将博弈 A 的胜率与对应的博弈 B 胜率合并。选择博弈 A 的概率决定混合比例。随后重新求解稳态分布，因为混合不仅改变即时胜率，也会改变各状态的占比。这一区别至关重要：仅将 A 和 B 单独进行时的收益取平均，会遗漏产生悖论的机制。 经典示例使用略微不利的博弈 A，以及博弈 B 中极为不利的不利状态硬币和有利的有利状态硬币。两个博弈单独进行时，长期漂移均为负，但等概率随机混合后，漂移可能为正。结果是期望值，并非保证。有限次博弈仍具有随机性，即使理论漂移方向相反，实际资本也可能增长或减少。可用本计算器探索概率模型、教授马尔可夫链，或核对已发表的帕隆多参数，无需运行带有随机波动的模拟。