阶乘计算器

非负整数 n 的阶乘是从 n 到 1 的所有正整数的乘积，记作 n!。例如，5! 表示 5 乘以 4 乘以 3 乘以 2 乘以 1，等于 120。阶乘增长极快，因为每个新值都是前一个结果乘以一个更大的整数。即使是 20!，也已超过二百万万亿。 两个基本情形尤其重要：1! 等于 1，数学上将 0! 定义为 1。零的情形起初可能令人意外，但它能保持递推恒等式 n! = n 乘以 (n - 1)! 成立，并使计数公式保持一致。排列零个对象，或从一组对象中选取零个对象，都恰好只有一种方式，因此对应的计数必须为一。 阶乘是组合数学的核心。n 个不同对象有 n! 种可能的排列顺序。如果将八本不同的书放在书架上，就有 8!，即 40,320 种排列方式。组合与排列利用阶乘之比，分别计算不考虑顺序和考虑顺序的选择数量。概率公式依赖这些计数，求出扑克牌手牌、彩票选号、排程及实验结果的可能性。 阶乘也出现在代数、微积分、统计学和计算机科学中。泰勒级数使用阶乘作分母来表示指数、正弦和余弦等函数。泊松分布与二项分布的概率公式包含阶乘项。算法分析用阶乘时间描述遍历所有排列的过程；即便输入规模不大，这样的增长速度也会使计算难以实际完成。 本计算器使用整数运算，而非浮点乘法，因此在支持范围内，显示的每一位数字都精确无误。输入上限 170 沿用旧版工具的实用边界，以控制输出长度，尽管整数运算本身能表示更大的结果。此处阶乘仅对非负整数定义。伽马函数可将这一概念扩展至许多非整数和复数值，但那是另一种运算，本工具不予计算。 粗略估算极大阶乘时，可使用斯特林近似，将 n! 与二乘以圆周率乘以 n 的平方根，再乘以 (n 除以 e)^n 联系起来。n 越大，近似越准确；但需要完整整数时，精确计算器仍是更佳选择。显示结果可用于计数问题、公式核对、课堂练习，以及比较阶乘增长如何迅速超过普通指数增长。