垂心计算器

垂心是三角形三条高线的共同交点。高线是经过一个顶点且垂直于对边所在直线的直线。画出三条高线更容易辨认这一结构，但计算时只需两条：两条不同的高线相交后，第三条必定经过同一个点。这一共点性质是欧几里得几何的基本定理。 垂心的位置取决于三角形的角。锐角三角形的三条高线相交于内部。直角三角形的两条直角边本身就是相互垂直的高线，因此垂心就是直角顶点。钝角三角形的高线相交于外部，因为至少两条对边需要延长。因此，垂心坐标位于三角形外是有效结果，并不表示计算失败。 坐标几何将垂直关系转化为点积。若从顶点 A 到未知点 H 的直线是高线，则向量 H 减 A 必须垂直于边 BC，二者点积为零。第二个方程要求向量 H 减 B 垂直于边 AC。展开这两个点积，便得到以 H 的 x、y 坐标为未知数的二元一次方程组。计算器直接求解此方程组，避免了斜率公式对竖直线的特殊处理。 如果输入的三个点共线，就不能构成三角形。此时两条高线方程没有唯一交点，在代数上表现为行列式为零。计算器会检测这种情况，并要求输入不共线的顶点。重复点也因同样的几何原因而被拒绝。支持小数和负数坐标，因此此方法适用于所有象限，也不要求边与坐标轴平行。 垂心是四个经典三角形中心之一。重心是中线的交点，内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点。一般三角形中，这些中心并不重合。重心、外心和垂心位于欧拉线上，其位置满足简单的比例关系。等边三角形因对称性而使这四个主要中心重合。 此计算器适用于解析几何、作图核对、三角形中心练习和计算机图形学。请仔细输入每个有序数对，确保 x 坐标与对应的 y 坐标匹配。结果显示时会舍入以便阅读，而方程计算使用完整的 JavaScript 浮点精度。将结果代入任一高线的点积方程，即可直接验证。