调和级数计算器

调和级数由正整数的倒数依次相加而成：一、二分之一、三分之一、四分之一，以此类推。加到第 n 个倒数的有限和称为第 n 个调和数，通常记作 H，下标为 n。本计算器直接计算这一有限和，保留所需上限内每一项的贡献。 计算调和数时，从零开始，依次加上从一到 n 的每个整数的倒数。五项时，计算为 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5，约等于 2.2833333333。十项时，结果约为 2.9289682540。每个新项都比前一项小，因此部分和持续增加，但增速越来越慢。 虽然每个新增分数都趋近于零，无穷调和级数仍然发散。其部分和没有有限上限。这个著名结论说明，通项趋于零是无穷级数收敛的必要条件，但不是充分条件。增长呈对数规律：若想让总和显著增大，需要大幅增加项数。调和数接近 n 的自然对数加上欧拉–马歇罗尼常数，该常数约为 0.57721。 简单的积分比较可为精确的有限和提供实用检查。n 加一的自然对数小于第 n 个调和数，而调和数小于一加 n 的自然对数。计算器会显示这两个上下界。随着 n 增大，它们在相对意义上越来越紧，有助于解释对数增长规律，但不会替代直接求和。 调和数广泛出现于数学和计算机科学中，例如随机算法的期望成本、某些数据结构的平均比较次数、集券问题、约数求和及概率模型。在物理与工程中，相关倒数和也见于共振和信号分析。音乐中的谐波有相近的英文名称，但本计算器处理的是数学中的倒数级数，而非声学谐波频率。 请输入不超过一百万的正整数。显示结果保留十位小数，计算使用 JavaScript 双精度运算。对于极大的下标，专门的近似方法可能更快，也能更细致地控制浮点误差。在本计算器规定的范围内，直接求和可提供透明、可靠的教学结果。