Калькулятор распределения выборочной доли
Находите среднее, стандартную ошибку, условие нормальности, Z-оценку и накопленные вероятности для распределения любой выборочной доли.
Введите долю в генеральной совокупности (p) и размер выборки (n). При необходимости укажите конкретную выборочную долю (p̂), чтобы получить соответствующую Z-оценку и накопленную вероятность.
Калькулятор распределения выборочной доли
Находите среднее, стандартную ошибку, условие нормальности, Z-оценку и накопленные вероятности для распределения любой выборочной доли.
О распределении выборочной доли
Распределение выборочной доли — теоретическое распределение возможных значений p̂ во всех случайных выборках фиксированного размера n из совокупности с истинной долей p. Это базовое понятие выводной статистики, опросов, проверки гипотез и доверительных интервалов.
Среднее распределения равно p, что отражает несмещенность. Его стандартное отклонение, стандартная ошибка доли, равно σ(p̂) = √[p(1–p)/n]. С ростом n стандартная ошибка уменьшается, а выборочные доли теснее группируются вокруг p.
По центральной предельной теореме распределение примерно нормально, если np ≥ 10 и n(1–p) ≥ 10. Эти условия обеспечивают достаточно успехов и неудач. Если они не выполнены, особенно при малых выборках или долях около 0 или 1, следует использовать биномиальное распределение.
Если задана p̂, калькулятор вычисляет Z = (p̂ – p) / σ(p̂), показывая, на сколько стандартных ошибок p̂ отстоит от среднего. Большая по модулю Z-оценка указывает на малую вероятность такого наблюдения случайно при предполагаемой p и лежит в основе проверки гипотез.
P(p̂ < x) — вероятность наблюдать выборочную долю не больше x; P(p̂ > x) — вероятность доли больше x. Эти значения помогают оценить, насколько экстремально наблюдение относительно теоретического распределения.
Понятие применяется в опросах, контроле качества и медицинских исследованиях: для оценки поддержки выше порога, проверки превышения доли дефектов или сравнения реакции на лечение с историческим ориентиром.
Примеры распределения выборочной доли
Три сценария, демонстрирующие расчеты среднего, стандартной ошибки, проверки нормальности и Z-оценки.
| Параметры | Ключевые результаты | Примечания |
|---|---|---|
| p=0.60, n=100, p̂=0.65 | μ=0.60, σ=0.049, Z=1.02, P(<0.65)≈0.846 | Условия нормальности выполнены (np=60, n(1-p)=40). Наблюдаемые 65% примерно на 1 стандартную ошибку выше доли в генеральной совокупности. |
| p=0.50, n=400, p̂=0.53 | μ=0.50, σ=0.025, Z=1.20, P(<0.53)≈0.885 | Большая выборка повышает точность. Стандартная ошибка уменьшается вдвое при увеличении размера выборки в четыре раза, что облегчает обнаружение отклонений от 0.50. |
| p=0.05, n=50 | μ=0.05, σ=0.031, нормальность не пройдена | np=2.5 < 10, поэтому условие нормальности не выполняется. Для малых долей и малых выборок используйте точное биномиальное распределение. |
Как пользоваться калькулятором распределения выборочной доли
- Введите долю в генеральной совокупности (p) как десятичное число между 0 и 1 (не включая границы). Это известная или предполагаемая истинная доля.
- Введите размер выборки (n) как положительное целое число. Он определяет стандартную ошибку и выполнение условия нормальности.
- При необходимости введите выборочную долю (p̂), чтобы рассчитать Z-оценку и накопленные вероятности P(p̂ < x) и P(p̂ > x).
- Нажмите Рассчитать, чтобы увидеть среднее, стандартную ошибку, результат проверки нормальности и, если p̂ была указана, Z-оценку и вероятности.
- Нажмите Сбросить, чтобы очистить все поля и начать новый расчет.
FAQ по распределению выборочной доли
Что такое стандартная ошибка выборочной доли?
Стандартная ошибка — это стандартное отклонение распределения выборочной доли, измеряющее, насколько выборочные доли меняются от выборки к выборке. Она равна √[p(1–p)/n]. Меньшая стандартная ошибка означает, что выборочные доли плотнее сгруппированы вокруг истинной доли p.
Когда распределение выборочной доли приблизительно нормально?
Нормальное приближение допустимо, когда одновременно np ≥ 10 и n(1–p) ≥ 10. Если любое условие не выполняется, распределение скошено, а расчеты по нормальному приближению неточны. Используйте точное биномиальное распределение.
Как увеличение размера выборки влияет на распределение?
Увеличение n снижает стандартную ошибку пропорционально 1/√n, сужая распределение. Среднее остается p. Более узкое распределение делает оценивание и выводы точнее.
Что означает Z-оценка 2 для выборочной доли?
Z-оценка 2 означает, что p̂ находится на 2 стандартные ошибки выше p. При нормальном приближении вероятность случайно наблюдать такую или большую Z-оценку около 2,3% (односторонняя). Это сильное, но не окончательное свидетельство.
Может ли этот калькулятор обрабатывать доли, близкие к 0 или 1?
Калькулятор рассчитает результаты, но отметит невыполнение нормальности при np < 10 или n(1–p) < 10. Для крайних долей, например p = 0.02 или p = 0.98, используйте биномиальное распределение.
В чем разница между стандартным отклонением и стандартной ошибкой доли?
Стандартное отклонение бинарной переменной измеряет изменчивость отдельных наблюдений: σ = √[p(1–p)]. Стандартная ошибка доли измеряет изменчивость выборочных долей по повторным выборкам: σ(p̂) = √[p(1–p)/n]. Она меньше в 1/√n раза.