Калькулятор распределения Вейбулла - PDF, CDF и надёжность
Вычисляйте PDF, CDF, функцию надёжности, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Вейбулла по любым параметрам формы и масштаба.
Введите параметр формы k, параметр масштаба λ и значение x, чтобы получить полный анализ распределения Вейбулла, включая вероятность отказа и надёжность.
Калькулятор распределения Вейбулла - PDF, CDF и надёжность
Вычисляйте PDF, CDF, функцию надёжности, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Вейбулла по любым параметрам формы и масштаба.
О калькуляторе распределения Вейбулла
Распределение Вейбулла — это непрерывное распределение вероятностей, названное в честь шведского инженера и математика Валлоди Вейбулла, который в 1951 году использовал его для моделирования прочности материалов и усталости. Сегодня это одно из важнейших распределений в теории надёжности, анализе выживаемости, моделировании скорости ветра и теории экстремальных значений, потому что его параметр формы k позволяет в одной гибкой семействе описывать возрастающую, постоянную или убывающую интенсивность отказов.
Распределение определяется двумя параметрами. Параметр формы k (иногда обозначают β) определяет, растёт ли интенсивность отказов со временем, уменьшается или остаётся постоянной. При k > 1 интенсивность отказов увеличивается со временем — это моделирует износ типичных механических компонентов, которые деградируют в процессе эксплуатации. При k = 1 распределение Вейбулла точно сводится к экспоненциальному распределению с постоянной интенсивностью отказов, моделируя чисто случайные отказы, например у электронных компонентов со стабильным фоновым уровнем. При k < 1 интенсивность отказов уменьшается со временем — это моделирует раннюю смертность, когда дефектные изделия выходят из строя рано, а выжившие становятся надёжнее. Параметр масштаба λ (иногда обозначают η) — это характерный срок службы: при x = λ CDF равна 1 − e⁻¹ ≈ 63.2% независимо от k.
Функция плотности вероятности (PDF) f(x) показывает относительную вероятность наблюдать отказ именно в момент x. Накопленная функция распределения (CDF) F(x) показывает вероятность того, что компонент уже отказал к моменту x; это также называют ненадёжностью. Функция надёжности R(x) = 1 − F(x) показывает вероятность дожить после x и является основным показателем для гарантий и планирования обслуживания. Интенсивность отказов h(x) = f(x) / R(x) — это мгновенная интенсивность отказов в момент x при условии, что до этого момента компонент выжил; в инженерии её также называют силой смертности или функцией риска.
Среднее распределения Вейбулла равно λ · Γ(1 + 1/k), где Γ — гамма-функция. Медиана равна λ · (ln 2)^(1/k). Мода (наиболее вероятное время отказа) равна λ · ((k−1)/k)^(1/k) при k > 1 и 0 при k ≤ 1. Дисперсия равна λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²].
Анализ Вейбулла используется в планировании обслуживания автопарков, сертификации авиационных компонентов, оценке ветроэнергетических ресурсов, расчёте периода повторяемости землетрясений и исследованиях выживаемости при раке. Этот калькулятор выполняет все стандартные вычисления Вейбулла за один шаг, используя аппроксимацию Ланцоша для гамма-функции и обеспечивая высокую численную точность в широком диапазоне параметров.
Примеры распределения Вейбулла
Три отраслевых сценария, показывающих, как распределение Вейбулла моделирует отказ и надёжность.
| Параметры | CDF F(x) | Подробности |
|---|---|---|
| k=2.1, λ=8500, x=7000 | F(7000) ≈ 0.485 | Около 48.5% подшипников выйдут из строя до 7000 часов. При k > 1 интенсивность отказов растёт с возрастом (режим износа). |
| k=1.8, λ=12 mph, x=15 mph | F(15) ≈ 0.776 | Вероятность того, что средняя дневная скорость ветра будет не выше 15 mph, составляет около 77.6%. Во многих регионах скорость ветра подчиняется распределению Вейбулла с k ≈ 1.5–2.5. |
| k=1, λ=500, x=500 | F(500) ≈ 0.632 | При k=1 распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному. При x=λ F(x) = 1 − e⁻¹ ≈ 63.2% независимо от k — это определяющее свойство λ. |
Как пользоваться калькулятором распределения Вейбулла
- Введите параметр формы k — значения выше 1 моделируют износ, k=1 соответствует экспоненциальному распределению, а значения ниже 1 моделируют раннюю смертность.
- Введите параметр масштаба λ, который означает характерный срок службы (момент, к которому примерно 63.2% изделий уже выйдут из строя).
- Введите значение x, при котором нужно оценить распределение — обычно это время, расстояние или уровень нагрузки.
- Нажмите «Рассчитать», чтобы получить PDF, CDF, надёжность, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду, дисперсию и стандартное отклонение.
- Используйте кнопки примеров, чтобы мгновенно загрузить готовые инженерные или экологические сценарии.
Часто задаваемые вопросы о распределении Вейбулла
Что на практике означает параметр формы k?
Параметр формы k определяет характер интенсивности отказов. При k < 1 интенсивность отказов уменьшается со временем — преобладают ранние дефекты. При k = 1 интенсивность отказов постоянна — это чисто случайные отказы. При k > 1 интенсивность отказов растёт — износ является доминирующим механизмом. У большинства механических компонентов k находится в диапазоне от 1 до 4.
Что такое функция надёжности и как её использовать?
Надёжность R(x) = 1 − F(x) показывает вероятность того, что компонент выживет после x. Для планирования обслуживания или гарантийных сроков вы выбираете допустимую вероятность отказа и находите соответствующее x. Например, R(x) = 0.90 означает, что ожидается, что 90% изделий переживут момент x.
Почему CDF при x=λ всегда около 63.2%?
При x = λ показатель в формуле CDF становится (λ/λ)^k = 1, поэтому F(λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0.6321. Это верно для любого k, что делает λ универсальным характерным сроком службы: к параметру масштаба уже отказало 63.2% изделий, независимо от формы.
Что такое интенсивность отказов и когда она важна?
Интенсивность отказов h(x) — это мгновенная интенсивность отказов в момент x при условии выживания до этого момента. В теории надёжности её используют для планирования профилактического обслуживания. Когда h(x) растёт (k > 1), замена деталей до достижения высокого возраста риска экономически выгодна. Когда h(x) постоянна (k = 1), время замены статистически несущественно.
Чем среднее распределения Вейбулла отличается от параметра масштаба?
Параметр масштаба λ — это момент, когда 63.2% изделий уже отказали; это не средний срок службы. Среднее равно λ · Γ(1 + 1/k). При k=1 (экспоненциальное распределение) среднее = λ. При k=2 среднее примерно 0.886 λ. При k=3.44 среднее примерно равно λ. Значит, среднее может быть как больше, так и меньше λ в зависимости от формы.