Калькулятор распределения Райли - PDF, CDF и статистика
Рассчитайте PDF, CDF, дополненную CDF, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Райли для любого масштабного параметра σ и значения x.
Введите масштабный параметр σ (должен быть положительным) и значение x (неотрицательное), чтобы мгновенно увидеть все ключевые свойства распределения Райли.
Калькулятор распределения Райли - PDF, CDF и статистика
Рассчитайте PDF, CDF, дополненную CDF, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Райли для любого масштабного параметра σ и значения x.
О калькуляторе распределения Райли
Распределение Райли — это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательных случайных величин, названное в честь лорда Райли, который первоначально вывел его в контексте амплитуд звуковых волн. Оно полностью задаётся одним параметром σ (масштабным параметром), который одновременно является модой распределения — наиболее вероятным значением — и определяет разброс всей распределения.
Функция плотности вероятности (PDF) задаётся как f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²)) при x ≥ 0. Эта колоколообразная форма начинается с нуля при x = 0, достигает пика при x = σ, а затем асимптотически убывает к нулю. Функция распределения (CDF) равна F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²)) и даёт вероятность того, что случайное наблюдение окажется не больше x. Дополненная CDF (CCDF = 1 − CDF) даёт вероятность наблюдать значение строго больше x — её также называют функцией выживания, и она критически важна в надёжности и связи.
Распределение Райли — частный случай двухпараметрического распределения Вейбулла с параметром формы k = 2. Оно также глубоко связано с нормальным распределением: если две независимые случайные величины X и Y имеют нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией σ², то длина вектора R = √(X² + Y²) имеет распределение Райли с масштабным параметром σ. Эта геометрическая интерпретация делает его естественной моделью амплитуды двумерного случайного вектора.
В беспроводной связи модель замираний Райли описывает распространение радиосигналов в средах с множеством рассеивателей и без доминирующего пути прямой видимости. Когда передаваемый сигнал отражается от зданий, транспортных средств и рельефа перед тем, как достигнуть приёмника, огибающая принятого сигнала следует распределению Райли. Инженеры используют эту модель для расчёта энергетического бюджета линии, определения вероятностей отказа связи и проектирования помехоустойчивых кодов. Параметр σ оценивается по измерениям сигнала и напрямую используется в системных симуляциях.
В океанографии и метеорологии распределение моделирует значительную высоту волн и пиковую скорость ветра в заданной точке. Подгоняя σ к историческим данным, инженеры и учёные могут оценивать вероятность экстремальных событий — например, вероятность того, что высота волны превысит безопасный порог во время шторма с периодом повторяемости 50 лет. Аналогичные применения встречаются в проектировании морских платформ, моделировании прибрежных наводнений и выборе площадок для ветряных турбин.
В инженерии надёжности распределение Райли служит распределением времени до отказа для компонентов, подверженных накопительному повреждению от нескольких независимых факторов нагрузки. В отличие от экспоненциального распределения, интенсивность отказов Райли растёт линейно со временем (h(t) = t/σ²), что означает, что более старые компоненты выходят из строя чаще — реалистичная модель для механизмов износа, таких как усталость металла и коррозия.
Основные статистики: Среднее = σ√(π/2) ≈ 1,2533σ; Медиана = σ√(2 ln 2) ≈ 1,1774σ; Мода = σ; Дисперсия = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0,4292σ². Среднее всегда больше моды, что отражает правостороннюю асимметрию распределения. Дисперсия растёт квадратично с σ, поэтому удвоение σ увеличивает разброс в четыре раза.
Примеры распределения Райли
Решённые примеры, показывающие PDF, CDF и ключевые статистики для разных значений σ и x.
| Входные данные | Ключевые результаты | Применение |
|---|---|---|
| σ = 1, x = 1 | PDF ≈ 0.6065, CDF ≈ 0.3935, Mean ≈ 1.2533 | Стандартное распределение Райли. Мода равна σ = 1, а среднее примерно на 25% больше. |
| σ = 10, x = 12 | PDF ≈ 0.0584, CDF ≈ 0.5132, Mean ≈ 12.533 | Моделирование скорости ветра. Около 49% наблюдаемых на этом участке скоростей ветра превысят 12 м/с. |
| σ = 5, x = 4 | PDF ≈ 0.1162, CDF ≈ 0.2739, Mean ≈ 6.267 | Анализ огибающей сигнала. Вероятность того, что амплитуда сигнала будет не выше 4 единиц, составляет 27,4%. |
| σ = 1000, x = 800 | PDF ≈ 0.000581, CDF ≈ 0.2739, Mean ≈ 1253.3 | Инженерия надёжности. 72,6% компонентов работают дольше 800 часов при σ = 1000 ч. |
Как пользоваться калькулятором распределения Райли
- Введите масштабный параметр σ в первое поле. σ должен быть положительным; он равен моде распределения и определяет общий разброс.
- Введите значение x, для которого хотите вычислить распределение. x должно быть нулём или положительным; отрицательные значения находятся вне области определения.
- Нажмите Рассчитать. Инструмент мгновенно выдаст PDF, CDF, дополненную CDF, среднее, медиану, моду и дисперсию.
- Смотрите на CDF, чтобы узнать вероятность того, что случайное наблюдение ≤ x, или на CCDF, чтобы узнать вероятность превышения x.
- Нажмите Сбросить, чтобы очистить оба поля, или загрузите один из примеров, чтобы посмотреть типичные реальные значения параметров.
FAQ по распределению Райли
Что такое масштабный параметр σ в распределении Райли?
σ — единственный параметр распределения Райли. Он равен моде (наиболее вероятному значению) распределения. Больший σ сдвигает всё распределение вправо и увеличивает его разброс. В беспроводной связи σ оценивают по измерениям мощности принятого сигнала; в океанографии его подгоняют по историческим записям высоты волн.
Как распределение Райли связано с нормальным распределением?
Если X и Y — независимые нормально распределённые случайные величины с нулевым средним и дисперсией σ², то модуль R = √(X² + Y²) имеет распределение Райли с параметром σ. Поэтому оно естественно возникает, когда интересует двумерное расстояние случайной точки до начала координат, а её координаты x и y — независимый гауссов шум.
В чём разница между PDF и CDF?
PDF f(x) даёт плотность вероятности в конкретной точке — показывает, насколько вероятны значения рядом с x по сравнению с другими. CDF F(x) = P(X ≤ x) — это интеграл PDF от 0 до x и даёт вероятность того, что наблюдение окажется не больше x. Для распределения Райли F(x) = 1 − exp(−x²/(2σ²)).
Почему среднее в распределении Райли больше моды?
Распределение Райли правоскошенное: длинный хвост больших значений тянет среднее выше пика. Среднее равно σ√(π/2) ≈ 1,253σ, а мода — просто σ. Медиана σ√(2 ln 2) ≈ 1,177σ находится между ними, что типично для правоскошенных распределений.
Можно ли использовать распределение Райли для точного моделирования скорости ветра?
Распределение Райли часто используют как упрощённую модель скорости ветра в оценках ветроэнергетики. Это частный случай более общего распределения Вейбулла с параметром формы k = 2. Если распределение скоростей ветра примерно симметрично вокруг пика, модель Райли работает хорошо; иначе предпочтительнее подгонять полное распределение Вейбулла с двумя параметрами.
Что такое дополненная CDF (CCDF) и когда её использовать?
CCDF (или функция выживания) равна 1 − F(x) = exp(−x²/(2σ²)) и показывает вероятность того, что наблюдение превысит x. Инженеры используют её для расчёта вероятности отказа связи (вероятность того, что мощность сигнала упадёт ниже порога), вероятностей превышения в гидрологии (вероятность превышения уровня паводка) и доли выживших в надёжности (доля компонентов, которые всё ещё работают в момент x).