Калькулятор тензорного произведения

Тензорное произведение, также называемое внешним произведением в контексте векторов, — это базовая операция линейной алгебры, которая берёт два вектора и строит из них матрицу. Пусть вектор u имеет m компонент, а вектор v — n компонент; тогда их тензорное произведение u ⊗ v — это матрица m × n, в которой элемент в строке i и столбце j равен произведению uᵢ на vⱼ. Это резко отличается от скалярного произведения, которое сводит два вектора к одному скаляру, и от векторного произведения, применимого только к трёхмерным векторам и возвращающего другой вектор. Математически, если u = [u₁, u₂, …, uₘ] и v = [v₁, v₂, …, vₙ], то для любой допустимой пары (i, j) верно (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ. Вычислительная сложность равна O(mn), поэтому операция эффективна даже для сравнительно больших векторов. Тензорное произведение билинейно: умножение любого из векторов на коэффициент масштабирует результат тем же коэффициентом, и оно распределительно относительно сложения векторов. Тензорное произведение некоммутативно: u ⊗ v и v ⊗ u обычно дают разные матрицы (одна — m × n, другая — n × m), если только m = n и не выполняется особое соотношение. Первый вектор всегда задаёт строки, второй — столбцы. Эта асимметрия особенно важна в физике и машинном обучении, где порядок несёт физический или смысловой смысл. В квантовой механике тензорные произведения незаменимы для описания составных систем. Когда объединяются две квантовые системы, пространство состояний составной системы является тензорным произведением пространств состояний отдельных систем. Например, система из двух кубитов имеет 4-мерное пространство состояний, являющееся тензорным произведением двух 2-мерных пространств кубита. Квантовая запутанность возникает именно тогда, когда составное состояние нельзя представить как простое тензорное произведение отдельных состояний. В машинном обучении и анализе данных тензорные произведения (и их более высокие обобщения, называемые тензорами) лежат в основе механизма внимания в моделях Transformer, операций пересечения признаков в рекомендательных системах и separable-свёрток в обработке изображений. Например, ядро гауссова размытия — это тензорное произведение одномерного горизонтального гауссова фильтра и одномерного вертикального гауссова фильтра, что позволяет выполнять эффективные раздельные вычисления. В обработке сигналов представление многомерных фильтров как тензорных произведений одномерных фильтров даёт существенную экономию вычислений. Развернутый вектор, который создаёт этот калькулятор, особенно полезен, когда результат нужно передать следующей операции, ожидающей одномерный вход, например полностью связному слою нейронной сети.