Калькулятор суммы арифметической прогрессии

Найдите сумму любой арифметической прогрессии по первому члену, разности и числу членов.

Введите первый член, разность и число членов, чтобы мгновенно вычислить сумму арифметической прогрессии.

Калькулятор суммы арифметической прогрессии
Найдите сумму любой арифметической прогрессии по первому члену, разности и числу членов.

О калькуляторе суммы арифметической прогрессии

Линейная числовая последовательность — также называемая арифметической последовательностью или арифметической прогрессией — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему постоянной величины, называемой разностью. Если первый член равен a, а разность равна d, то последовательность имеет вид: a, a+d, a+2d, a+3d и так далее до n-го члена. Общий член (n-й член) арифметической последовательности задаётся формулой: an = a + (n − 1)d. Она позволяет найти значение любого члена, не вычисляя все предыдущие. Например, в последовательности 2, 5, 8, 11, 14 (первый член 2, разность 3) 10-й член равен 2 + (10 − 1) × 3 = 29. Сумма первых n членов, обозначаемая Sn, вычисляется по формуле: Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]. Эту изящную формулу также можно записать как Sn = n/2 × (первый член + последний член), что особенно удобно, когда известен последний член. Формулу прославил Гаусс, ещё ребёнком быстро сложивший числа от 1 до 100: n=100, a=1, d=1, поэтому S100 = 100/2 × (1 + 100) = 5050. Арифметические последовательности имеют постоянную скорость изменения, поэтому при построении графика их члены образуют прямую линию — отсюда и название «линейная последовательность». Это отличается от геометрических последовательностей, где члены связаны постоянным отношением и график растёт экспоненциально. В реальной жизни арифметические последовательности описывают многие практические ситуации. Зарплата, увеличивающаяся на фиксированную сумму каждый год, образует арифметическую последовательность. Расстояние, которое объект проходит в каждую следующую секунду при постоянном ускорении, тоже арифметическое. Ряды сидений в театре, где в каждом следующем ряду на одно место больше, также образуют арифметическую последовательность. Расчёты аннуитетов, простых процентов и линейной амортизации основаны на тех же формулах арифметической прогрессии, которые использует этот калькулятор.

Примеры суммы арифметической последовательности

Типичные примеры, иллюстрирующие формулу суммы для арифметических последовательностей.

Ввод (a, d, n)Сумма (Sn)Примечания
a=1, d=1, n=1005050Сумма целых чисел от 1 до 100. Sn = 100/2 × (1+100) = 50 × 101 = 5050. Классическая задача Гаусса.
a=2, d=3, n=540Последовательность: 2, 5, 8, 11, 14. Sn = 5/2 × [2×2 + (5−1)×3] = 2.5 × 16 = 40.
a=10, d=−3, n=422Убывающая последовательность: 10, 7, 4, 1. Sn = 4/2 × [20 + 3×(−3)] = 2 × 11 = 22.
a=5, d=0, n=630Постоянная последовательность: d=0 означает, что все члены равны 5. Сумма = 6 × 5 = 30.

Как пользоваться калькулятором суммы арифметической последовательности

  1. Введите первый член (a) — значение первого числа в вашей последовательности.
  2. Введите разность (d) — постоянную величину, которая прибавляется к каждому члену. Для убывающей последовательности используйте отрицательное значение.
  3. Введите число членов (n) — сколько членов вы хотите сложить. Это должно быть положительное целое число.
  4. Нажмите «Вычислить сумму». Калькулятор покажет Sn, последний член an и использованную формулу.
  5. Нажмите «Сбросить», чтобы очистить все поля и начать новый расчёт.

FAQ по сумме арифметической последовательности

Какова формула суммы арифметической последовательности?
Формула: Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d], где n — число членов, a — первый член, а d — разность. Эквивалентно можно записать Sn = n/2 × (первый член + последний член). Оба варианта дают один и тот же результат — используйте тот, который удобнее при имеющихся данных.
Может ли разность быть отрицательной или равной нулю?
Да. Отрицательная разность означает убывающую последовательность — каждый следующий член меньше предыдущего. Например, у 10, 7, 4, 1 разность d = −3. Если разность равна нулю, все члены одинаковы, и сумма равна n × a.
В чём разница между арифметической и геометрической последовательностью?
В арифметической последовательности члены отличаются на постоянную прибавку (разность d). В геометрической последовательности члены отличаются на постоянное умножение (знаменатель r). Арифметические последовательности растут линейно, геометрические — экспоненциально. Этот калькулятор предназначен именно для арифметических (линейных) последовательностей.
Как найти число членов, если известны первый член, последний член и разность?
Используйте формулу n = (последний член − первый член) / d + 1. Например, в последовательности 3, 7, 11, 15, 19 последний член равен 19, первый — 3, а d = 4: n = (19 − 3) / 4 + 1 = 5. Когда n известно, введите a, d и n в калькулятор, чтобы найти сумму.
Почему в формуле суммы используется n/2?
Коэффициент n/2 появляется из-за парного сложения первого и последнего членов, сумма которых всегда одинакова. Если записать последовательность вперёд и назад и сложить соответствующие члены, каждая пара равна (первый член + последний член). Таких пар между двумя записями получается n, поэтому умножаем на n/2.
Можно ли использовать этот калькулятор для расчёта простых процентов?
Да. Простые проценты по займу или инвестиции образуют арифметическую последовательность остатков. Если вы начинаете с капитала P, получаете проценты I за каждый период и хотите найти итог после n периодов, задайте a = P + I, d = I, а n — это число периодов. Сумма даст общий итог всех остатков на конец периода.