Калькулятор матриц
Выполняйте все основные операции с матрицами — сложение, вычитание, умножение, транспонирование и вычисление определителя — в одном бесплатном онлайн-инструменте линейной алгебры.
Выберите операцию, введите одну или две матрицы в формате через точки с запятой и запятые и нажмите «Вычислить», чтобы сразу получить результат.
Калькулятор матриц
Выполняйте все основные операции с матрицами — сложение, вычитание, умножение, транспонирование и вычисление определителя — в одном бесплатном онлайн-инструменте линейной алгебры.
Разделяйте строки точками с запятой (;), а столбцы — запятыми (,). Пример: 1,2;3,4 — это матрица 2×2.
О калькуляторе матриц
Матрица — это прямоугольный массив чисел, расположенных по строкам и столбцам. Матрицы — фундаментальная структура данных линейной алгебры, и практически любую задачу в физике, инженерии, компьютерной графике, статистике и машинном обучении можно выразить через матрицы и операции над ними. Этот калькулятор охватывает пять операций, с которыми вы чаще всего сталкиваетесь: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и определитель.
Сложение и вычитание матриц — это поэлементные операции, для которых обе матрицы должны иметь одинаковые размеры. Вы объединяете соответствующие элементы по позициям, получая матрицу того же размера. При вычитании в каждой позиции просто используется знак минус вместо плюса.
Умножение матриц устроено сложнее. Чтобы умножить матрицу m×n A на матрицу n×p B, число столбцов в A должно быть равно числу строк в B. Каждый элемент результирующей матрицы m×p вычисляется как скалярное произведение строки из A и столбца из B: C[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]. В отличие от обычного умножения, умножение матриц некоммутативно — вообще говоря, AB ≠ BA.
Транспонирование матрицы получается при перестановке её строк и столбцов. Если A — матрица m×n, то её транспонированная Aᵀ — это матрица n×m, где Aᵀ[i][j] = A[j][i]. Транспонирование играет ключевую роль во многих формулах, включая вычисление ковариационных матриц в статистике и вывод нормальных уравнений в линейной регрессии.
Определитель — это скаляр, связанный с квадратной матрицей и несущий важную геометрическую и алгебраическую информацию. Для матрицы 2×2 [[a,b],[c,d]] det = ad − bc. Для больших матриц вычисление включает рекурсивное разложение по алгебраическим дополнениям или приведение к ступенчатому виду. Ненулевой определитель означает, что матрица обратима; нулевой определитель означает, что матрица вырожденная и не имеет обратной.
Вместе эти пять операций покрывают большую часть того, что студентам и специалистам нужно в повседневном контексте линейной алгебры. Решаете ли вы системы уравнений, вращаете ли объекты в 3D-графике, подбираете ли регрессионные модели или анализируете графы сетей, понимание того, как складывать, вычитать, умножать, транспонировать матрицы и вычислять их определитель, даёт мощный набор инструментов почти для любой количественной задачи.
Примеры калькулятора матриц
Пять примеров, иллюстрирующих каждую из пяти поддерживаемых операций.
| Ввод | Результат | Примечания |
|---|---|---|
| Сложение: A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] | [[6,8],[10,12]] | Поэлементное сложение. Обе матрицы должны быть одного размера. |
| Умножение: A = [[1,2],[3,4]], B = [[2,0],[1,2]] | [[4,4],[10,8]] | C[0][0] = 1×2 + 2×1 = 4. C[0][1] = 1×0 + 2×2 = 4. C[1][0] = 3×2 + 4×1 = 10. C[1][1] = 3×0 + 4×2 = 8. |
| Транспонирование: A = [[1,2,3],[4,5,6]] | [[1,4],[2,5],[3,6]] | Матрица 2×3 становится матрицей 3×2. Строки становятся столбцами. |
| Определитель: A = [[3,8],[4,6]] | −14 | det = 3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14. Ненулевой определитель означает, что A обратима. |
| Вычитание: A = [[9,5],[3,7]], B = [[4,2],[1,3]] | [[5,3],[2,4]] | Из каждого элемента A вычитается соответствующий элемент B. |
Как пользоваться калькулятором матриц
- Нажмите кнопку операции — Сложить, Вычесть, Умножить, Транспонировать или Определитель — чтобы выбрать нужное вычисление.
- Введите Матрицу A в первое поле, разделяя строки точками с запятой, а значения в строке — запятыми. Например, 1,2;3,4 означает [[1,2],[3,4]].
- Для Сложить, Вычесть и Умножить также введите Матрицу B во второе поле. Для Транспонировать и Определитель требуется только Матрица A.
- Нажмите Вычислить. Результат появится ниже — в виде матрицы для Сложить, Вычесть, Умножить и Транспонировать или в виде одного числа для Определителя.
- Нажмите Сбросить, чтобы очистить все поля и начать заново, или переключите операцию, чтобы использовать те же матрицы для другого вычисления.
Часто задаваемые вопросы
Когда две матрицы можно перемножить?
Две матрицы A и B можно перемножить (как A × B) только тогда, когда число столбцов в A равно числу строк в B. Если A имеет размер m×n, а B — n×p, то произведение C имеет размер m×p. Если внутренние размерности не совпадают, умножение не определено, и калькулятор покажет ошибку размерности.
Является ли умножение матриц коммутативным?
Нет. В общем случае AB ≠ BA, даже если оба произведения определены. Это одно из важнейших отличий матриц от обычных чисел. Например, если A поворачивает векторы на 90°, а B отражает их, порядок операций даёт разное преобразование.
Что значит, если определитель равен нулю?
Нулевой определитель означает, что матрица вырожденная — у неё нет обратной и её строки (или столбцы) линейно зависимы. Геометрически это означает, что матрица сжимает пространство до объекта меньшей размерности. В системах уравнений вырожденная матрица коэффициентов означает, что система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.
Как ввести неквадратную матрицу?
Используйте стандартный формат: разделяйте элементы строки запятыми, а строки — точками с запятой. Например, матрица 2×3 [[1,2,3],[4,5,6]] вводится как 1,2,3;4,5,6. Неквадратные матрицы допустимы для сложения, вычитания, умножения и транспонирования, но не для определителя.
Для чего нужна транспозиция?
Транспонирование меняет строки и столбцы матрицы местами. Оно используется во многих формулах линейной алгебры: при вычислении скалярных произведений, построении симметричных матриц, решении задач наименьших квадратов через нормальные уравнения (AᵀA)x = Aᵀb и нахождении сопряжённой транспонированной в комплексном анализе. В машинном обучении транспонирование матриц весов — обычная операция в прямом и обратном проходах нейросетей.
Может ли этот калькулятор работать с матрицами больше 3×3?
Да. Калькулятор поддерживает матрицы любых согласованных размеров для всех операций. Определители больших матриц вычисляются методом Гаусса, который даёт точный результат как минимум для матриц до 10×10. Для очень больших матриц численная точность может немного снижаться из-за арифметики с плавающей запятой.