Калькулятор комплексных корней - n-е корни по Муавру

Каждое ненулевое комплексное число имеет ровно n различных n-х корней, и этот калькулятор находит их все сразу, используя полярную форму комплексного числа и теорему Муавра. Для комплексного числа z = a + bi его модуль равен r = √(a² + b²), а аргумент — θ = atan2(b, a). В полярной форме z = r(cosθ + i·sinθ), а n-е корни задаются формулой z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n)) для k = 0, 1, …, n − 1. Геометрически n корней лежат на окружности радиуса r^(1/n) с центром в начале координат комплексной плоскости и равномерно разнесены на 2π/n радиан. Корень с k = 0 называется главным корнем и находится ближе всего к положительной действительной оси (его аргумент равен θ/n). Поворот на 2π/n вокруг начала координат переводит один корень в следующий, поэтому корни из единицы образуют правильный n-угольник, вписанный в единичную окружность. Комплексные корни — это не просто алгебраическая любопытность. В электротехнике корни из единицы описывают фазоры в трёхфазных системах и лежат в основе дискретного преобразования Фурье в цифровой обработке сигналов. В теории управления положение корней на комплексной плоскости определяет устойчивость линейных систем. В квантовой механике комплексные амплитуды и их корни появляются в волновых функциях и при анализе периодических потенциалов. Даже в чистой теории чисел n-е корни из единицы порождают циклотомические поля — центральные объекты современной алгебры. Распространённое заблуждение состоит в том, что у комплексного числа только один корень или что квадратный корень из −1 имеет лишь значение i. На самом деле у −1 два квадратных корня — i и −i, а у 1 есть n различных n-х корней для любого положительного целого n. Калькулятор показывает их все в виде a_k + b_k·i, округляя до фиксированного числа знаков после запятой, чтобы были видны числовые закономерности, например симметрия сопряжённых пар. Для вещественных входов с чётной степенью корни появляются попарно как комплексно-сопряжённые; при нечётном n и входе на отрицательной действительной оси ровно один корень сам является вещественным и отрицательным. Используйте этот калькулятор комплексных корней всякий раз, когда нужно решить z^n = w для произвольного комплексного w, разложить многочлены над комплексными числами, изучать корни из единицы или проверять домашние задания по комплексному анализу или инженерной математике.