Калькулятор катенары - Провис цепи и кабеля

Рассчитывайте высоту провиса, наклон, длину дуги и натяжение катенары по формуле гиперболического косинуса.

Введите параметр катенары a и горизонтальную координату x, чтобы вычислить свойства кривой для подвешенных цепей и кабелей.

Калькулятор катенары - Провис цепи и кабеля
Рассчитывайте высоту провиса, наклон, длину дуги и натяжение катенары по формуле гиперболического косинуса.

Вертикальный провис y = a·cosh(x/a) − a в горизонтальной точке x от самой нижней точки.

Должен быть положительным — равен T₀/w (горизонтальное натяжение, деленное на линейную плотность веса)

О калькуляторе катенары

Катенара — это кривая, которую естественным образом образует гибкая, однородная цепь или кабель, свободно висящий под собственным весом между двумя фиксированными точками. Слово происходит от латинского catena, что означает «цепь». Хотя кривая выглядит как парабола, катенара подчиняется функции гиперболического косинуса — принципиально иной математической форме. Уравнение катенары с самой нижней точкой в начале координат: y = a·cosh(x/a) − a, где параметр a = T₀/w. Здесь T₀ — горизонтальная составляющая натяжения (одинакова по всей длине кабеля), а w — вес кабеля на единицу длины. Чем больше a, тем легче или сильнее натянут кабель, и тем более плоской получается кривая провиса. Наклон в любой точке: dy/dx = sinh(x/a). Длина дуги от самой нижней точки (x = 0) до горизонтальной координаты x равна s = a·sinh(x/a). Полное натяжение в любой точке кабеля: T = w·a·cosh(x/a), то есть натяжение максимально на концах и минимально в самой нижней точке. Анализ катенары важен в гражданском строительстве для висячих мостов, воздушных линий электропередачи и кровельных конструкций на тросах. Например, основные тросы моста Golden Gate под собственным весом почти имеют форму катенары, хотя нагрузка от проезжей части приближает их к параболе. Воздушные линии электропередачи тоже провисают по катенаре между опорами, и инженерам нужно рассчитывать этот провис, чтобы обеспечить минимальный просвет до земли. В архитектуре перевернутая катенара (катенарная арка) — идеальная форма для свободно стоящей арки под собственным весом, поскольку каждый участок испытывает только чистое сжатие без изгиба. Арка Gateway Arch в Сент-Луисе представляет собой уплощенную катенарную арку, а своды Саграда Фамилия проектировались с использованием моделей подвешенной цепи. Гиперболические функции cosh и sinh естественно появляются в анализе катенары и доступны во всех научных калькуляторах и языках программирования. Этот калькулятор использует их напрямую, поэтому вы можете вычислять высоту провиса, наклоны, длины дуг и натяжение для любых сочетаний параметров a и x без ручного интегрирования.

Примеры катенары

Типовые расчеты катенары для задач инженерии и физики.

ПараметрыРезультатРасчет
a = 10, x = 5 (провис)1.2760y = 10·cosh(0.5) − 10 ≈ провис 1.276 м на половине пролета
a = 10, x = 10 (длина дуги)11.7520s = 10·sinh(1) ≈ 11.752 м длины кабеля от центра до конца
a = 50, x = 30 (наклон)0.6366dy/dx = sinh(0.6) ≈ 0.637 — около 32.5°
a = 100, x = 0 (провис)0В самой нижней точке (x = 0) провис всегда равен нулю
a = 20, x = 15 (натяжение)25.8937T/w = 20·cosh(0.75) ≈ 25.89 — нормированный коэффициент натяжения

Как пользоваться калькулятором катенары

  1. Выберите тип расчета: высота провиса, наклон, длина дуги или коэффициент натяжения.
  2. Введите параметр катенары a в поле Параметр a. Он равен T₀/w (горизонтальное натяжение, деленное на линейную плотность веса), и должен быть положительным.
  3. Введите горизонтальную координату x в поле Положение x. Используйте x = 0 для самой нижней точки; для значений на концах используйте половину пролета.
  4. Нажмите Рассчитать, чтобы увидеть результат и использованную формулу.
  5. Нажмите Сбросить, чтобы очистить оба поля и начать новый расчет.

Часто задаваемые вопросы о катенаре

Что такое катенара?
Катенара — это форма, которую естественным образом принимает гибкая, однородная цепь или кабель, свободно висящий под собственным весом между двумя фиксированными точками. Ее уравнение: y = a·cosh(x/a) − a, где a = T₀/w — параметр катенары (горизонтальное натяжение, деленное на линейную плотность веса). Хотя она похожа на параболу, катенара — это совершенно другая и более точная модель подвешенных кабелей.
Чем катенара отличается от параболы?
Парабола описывает форму кабеля, когда нагрузка равномерно распределена по горизонтальному пролету (например, у висячего моста с очень тяжелым полотном). Катенара описывает форму, когда нагрузкой является собственный вес кабеля, распределенный по его длине. При небольшом провисе кривые выглядят почти одинаково, но для более крутых цепей и кабелей различия становятся значительными.
Что такое параметр катенары a?
Параметр a равен T₀/w, где T₀ — горизонтальная составляющая натяжения кабеля (постоянна по всей длине), а w — вес кабеля на единицу длины. Чем больше a, тем сильнее натянут или легче кабель, и тем более плоской получается форма. Провис в любой точке равен y = a·cosh(x/a) − a.
Как найти длину дуги катенары?
Длина дуги от самой нижней точки (x = 0) до горизонтальной координаты x равна s = a·sinh(x/a). Это фактическая длина кабеля или цепи вдоль кривой, которая всегда больше горизонтального расстояния. Для полного пролета от −L до +L общая длина кабеля равна 2a·sinh(L/a).
Где применяются расчеты катенары на практике?
Катенары встречаются в проектировании тросов висячих мостов, анализе провисания воздушных линий электропередачи, кровельных конструкциях на тросах и цепных передачах. Перевернутая катенара — идеальная форма арки для конструкций под чистым сжатием, например Gateway Arch и Саграда Фамилия. Инженеры используют расчеты катенары, чтобы обеспечить минимальный габарит и определить длину материалов.
Почему параметр a должен быть положительным?
Параметр a представляет собой физическое отношение натяжения к весу на единицу длины, и обе величины положительны. Отрицательное или нулевое значение a не имеет физического смысла для подвешенного кабеля. Математически a = 0 делает уравнение катенары неопределенным из-за деления на ноль, поэтому калькулятор требует a > 0.