Калькулятор теоремы косинусов - Решайте любой треугольник (SAS/SSS)
Решайте любой треугольник с помощью теоремы косинусов. Найдите неизвестную сторону в SAS или неизвестный угол в SSS.
Выберите, что нужно найти: неизвестную сторону (SAS) или неизвестный угол (SSS), введите известные значения и сразу получите результат.
Калькулятор теоремы косинусов - Решайте любой треугольник (SAS/SSS)
Решайте любой треугольник с помощью теоремы косинусов. Найдите неизвестную сторону в SAS или неизвестный угол в SSS.
Примеры теоремы косинусов
Четыре типичных сценария для конфигураций SAS и SSS, включая тупоугольный треугольник.
| Известные значения | Результат | Конфигурация |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503, c ≈ 4.950. |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0, значит C = arccos(0) = 90° (прямоугольный треугольник). |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364, c = √364 ≈ 19.08. |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778, C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°. |
О калькуляторе теоремы косинусов
Теорема косинусов — это фундаментальная теорема тригонометрии, которая обобщает теорему Пифагора на любой треугольник, а не только на прямоугольный. Для треугольника со сторонами a, b и c, лежащими напротив углов A, B и C соответственно, теорема записывается так: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Когда C = 90°, cos(C) = 0, и формула сводится к знакомой теореме Пифагора c² = a² + b².
Теорема косинусов используется в двух основных конфигурациях. В конфигурации сторона-угол-сторона (SAS) известны две стороны и угол между ними, и нужно найти третью сторону. В конфигурации сторона-сторона-сторона (SSS) известны все три стороны, и нужно найти один из углов. После преобразования формулы для случая SSS получаем: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), а затем C = arccos этого значения.
Теорема косинусов тесно связана с теоремой синусов, но применяется в ситуациях, где теорему синусов нельзя использовать напрямую. Теорема синусов требует либо два угла и сторону (AAS/ASA), либо две стороны и не включённый между ними угол (SSA, где возможен неоднозначный случай). Теорема косинусов аккуратно решает SAS и SSS и даёт единственное решение в каждом случае (если входные данные задают реальный треугольник).
Практических применений у неё очень много: геодезия, навигация, архитектура, инженерия и физика. Геодезисты используют теорему косинусов для вычисления расстояний между точками, когда прямое измерение затруднено. Навигационное ПО вычисляет азимут и расстояние между двумя GPS-координатами с помощью сферических версий той же формулы. Инженеры рассчитывают усилия в элементах ферм, зависящие от геометрии треугольников. В компьютерной графике также используют правило косинусов для определения углов между рёбрами сетки.
Для тупоугольного треугольника один угол превышает 90°, и его косинус отрицателен, поэтому c² > a² + b². Теорема косинусов легко это учитывает, так как формула работает и с положительными, и с отрицательными значениями косинуса. Это одно из преимуществ перед более простыми методами, которые предполагают наличие прямого угла.
Этот калькулятор поддерживает случаи SAS и SSS. Для SAS введите стороны a и b и угол C между ними; инструмент вычислит сторону c. Для SSS введите все три стороны a, b и c; инструмент вычислит угол C. Результаты выводятся вместе с использованной формулой, чтобы вы могли проверить вычисления вручную.
Как пользоваться калькулятором теоремы косинусов
- Выберите режим вычисления: «Найти сторону (SAS)», если известны две стороны и угол между ними, или «Найти угол (SSS)», если известны все три стороны.
- Для SAS введите длины сторон a и b и угол C между ними (в градусах).
- Для SSS введите длины всех трёх сторон a, b и c.
- Нажмите «Вычислить». Инструмент применит теорему косинусов и покажет неизвестную сторону или угол.
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить все поля и решить другой треугольник.
Часто задаваемые вопросы
Что такое теорема косинусов?
Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами a, b, c и противолежащими углами A, B, C выполняется: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Она обобщает теорему Пифагора на непрямоугольные треугольники, где косинусный член корректирует отклонение от прямого угла. Когда C = 90°, cos(C) = 0, и получается знакомая теорема Пифагора.
Когда следует использовать теорему косинусов вместо теоремы синусов?
Используйте теорему косинусов, когда у вас конфигурация SAS (две стороны и угол между ними) или SSS (три стороны). Теорема синусов предпочтительнее для случаев AAS и ASA. Для SSA теорема синусов работает, но даёт неоднозначный случай; теорема косинусов устраняет неоднозначность, решая квадратное уравнение, хотя одно из решений может быть посторонним.
Можно ли использовать теорему косинусов для тупоугольных треугольников?
Да. У тупоугольного треугольника угол больше 90° имеет отрицательный косинус. Формула c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) по-прежнему верна; отрицательный косинус делает c² больше, чем a² + b², что правильно отражает тот факт, что c — самая длинная сторона напротив тупого угла.
Как найти все углы треугольника по трём сторонам?
Примените теорему косинусов три раза с разными буквенными обозначениями. Сначала найдите C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)), затем B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac)), и наконец A = 180° − B − C. Либо, если известны два угла, третий следует из суммы углов треугольника.
Что будет, если входные данные не образуют корректный треугольник?
Для SSS должна выполняться неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если это нарушено, корректного треугольника нет, и формула даёт |cos(C)| > 1, для чего нет действительного arccos. Этот калькулятор обнаруживает такой случай и показывает сообщение об ошибке.
Теорема косинусов и cosine rule — это одно и то же?
Да. Теорема косинусов и cosine rule — это два названия одной и той же теоремы. Термин “cosine rule” чаще используется в британском образовании, а “law of cosines” — в американских учебниках. Формула и её применение одинаковы.