Калькулятор теорем окружности - вписанные углы и вписанные четырёхугольники

Теоремы окружности — это набор фундаментальных результатов евклидовой геометрии, описывающих соотношения между углами, дугами и отрезками, связанными с окружностями. Они дают мощные инструменты для решения геометрических задач без координатной геометрии и тригонометрии, поэтому являются неотъемлемой частью школьной математики во всём мире. Теорема о вписанном угле — самая часто используемая теорема окружности. Она утверждает, что вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются двумя хордами, — ровно вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Эквивалентно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Эта теорема превращает задачи об углах внутри окружностей в простое деление или удвоение. Теорема Фалеса — самый древний и элегантный частный случай: когда хорда, на которую опирается вписанный угол, является диаметром окружности, вписанный угол всегда равен 90°. Это означает, что если известны два конца диаметра, любая точка на окружности образует прямой угол с этими двумя концами. Теорема Фалеса также используется на практике для нахождения центра окружности: любые два прямых угла, вписанные на одной хорде, позволяют определить диаметр. Теорема о вписанном четырёхугольнике расширяет идею вписанного угла на четырёхугольники. Четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда все его вершины лежат на одной окружности, а противоположные углы в сумме дают 180°. Это свойство используется для проверки, лежат ли четыре точки на одной окружности, и для нахождения неизвестных углов в геометрических фигурах. Теорема об угле между касательной и хордой утверждает, что угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен половине стягиваемой дуги. Это аналог теоремы о вписанном угле, но с касательной вместо второй хорды. Она особенно полезна в задачах, где окружности касаются друг друга или касаются прямой. Этот калькулятор реализует пять типов теорем: вписанный угол, центральный угол (обратную задачу к вписанному), угол в полуокружности (Фалес), вписанный четырёхугольник и угол между касательной и хордой. Для каждого типа вы вводите известное значение, а калькулятор применяет соответствующую теорему, чтобы найти неизвестную величину. В результатах также приводится краткое пояснение использованной теоремы, что помогает учиться геометрии одновременно с вычислениями. Все входные и выходные углы измеряются в градусах. Калькулятор проверяет, что введённые значения находятся в геометрически осмысленных диапазонах — например, центральный угол должен лежать между 0° и 360°, а известный угол во вписанном четырёхугольнике — между 0° и 180°. Значения вне этих диапазонов указывают на ошибку ввода, а не на допустимую геометрическую конфигурацию.