Калькулятор радикалов - квадратные и n-е корни
Упрощайте любые радикальные выражения — квадратные, кубические и n-е корни — выделяя полные степени. Сразу получайте упрощённый вид.
Введите подкоренное выражение (число под корнем) и индекс (степень корня), затем нажмите «Упростить радикал», чтобы увидеть упрощённый вид.
Калькулятор радикалов - квадратные и n-е корни
Упрощайте любые радикальные выражения — квадратные, кубические и n-е корни — выделяя полные степени. Сразу получайте упрощённый вид.
О калькуляторе радикалов
Радикальное выражение состоит из знака корня (√), подкоренного выражения (числа под знаком) и, при необходимости, индекса, который записывается маленьким числом в левом верхнем углу знака корня и показывает степень корня. Самый знакомый радикал — квадратный корень: у него подразумевается индекс 2. Кубический корень имеет индекс 3, корень четвёртой степени — 4 и так далее. Общая запись ⁿ√a означает n-й корень из a, то есть число b, для которого bⁿ = a.
Упростить радикал значит переписать его так, чтобы под знаком корня не оставалось полных n-х степеней. Метод основан на правиле произведения: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b. Чтобы упростить ⁿ√a, нужно разложить a на полную n-ю степень и оставшийся множитель. Например, чтобы упростить √50, замечаем, что 50 = 25 × 2 = 5² × 2, значит √50 = √(5²) · √2 = 5√2.
Для корней более высокого порядка действует тот же принцип, но ищутся множители, являющиеся полными n-ми степенями. Например, ∛54: 54 = 27 × 2 = 3³ × 2, значит ∛54 = ∛(3³) · ∛2 = 3∛2. Для корня пятой степени, ⁵√96 = ⁵√(32 × 3) = ⁵√(2⁵ × 3) = 2·⁵√3.
Этот калькулятор автоматически выполняет такое разложение. Он находит наибольший множитель, являющийся полной n-й степенью, и извлекает его n-й корень как коэффициент, оставляя остаток под знаком корня. Если подкоренное выражение само является полной n-й степенью, результатом будет целое число без радикала.
Упрощение радикалов важно в алгебре, потому что упрощённые формы легче сравнивать, объединять и использовать в дальнейших вычислениях. Сложение радикалов вроде 3√2 + 5√2 = 8√2 работает только тогда, когда подкоренные выражения совпадают, поэтому сначала нужно упростить выражение и понять, какие слагаемые можно объединить. В геометрии радикалы встречаются постоянно: диагональ единичного квадрата равна √2, высота равностороннего треугольника со стороной a равна (a√3)/2, а в золотом отношении появляется √5. Поэтому умение упрощать радикалы — необходимая база для алгебры, тригонометрии и математического анализа.
Примеры для калькулятора радикалов
Нажмите на любой пример, чтобы загрузить его в калькулятор.
| Ввод | Упрощённый результат | Метод |
|---|---|---|
| √50 (radicand=50, index=2) | 5√2 | Разложите 50 = 5² × 2. Вынесите √(5²) = 5 наружу, оставив √2 внутри. Десятичное значение: ≈ 7.0711. |
| ∛54 (radicand=54, index=3) | 3∛2 | Разложите 54 = 3³ × 2. Вынесите ∛(3³) = 3 наружу, оставив ∛2 внутри. Десятичное значение: ≈ 3.7798. |
| √144 (radicand=144, index=2) | 12 | 144 = 12² — это полный квадрат, поэтому √144 = 12 точно. Радикал не остаётся. |
| ⁵√96 (radicand=96, index=5) | 2·⁵√3 | Разложите 96 = 2⁵ × 3. Вынесите полную 5-ю степень: ⁵√(2⁵) = 2 наружу, ⁵√3 остаётся внутри. |
Как пользоваться калькулятором радикалов
- Введите подкоренное выражение — число под знаком корня — в поле Подкоренное выражение. Оно должно быть положительным целым числом (корни чётной степени из отрицательных чисел комплексные).
- Введите индекс, то есть степень корня, в поле Индекс. Используйте 2 для квадратных корней, 3 для кубических корней или любое целое число ≥ 2 для корней более высокого порядка.
- Нажмите «Упростить радикал». Результат покажет упрощённый вид как коэффициент, умноженный на оставшийся радикал, а также десятичное приближение.
- Если подкоренное выражение является полной n-й степенью, результат будет показан как целое число без знака корня.
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить поля и упростить другое радикальное выражение.
FAQ по калькулятору радикалов
Что значит упростить радикал?
Упростить радикал — значит переписать его так, чтобы под знаком корня не оставались множители, являющиеся полными n-ми степенями. Упрощённый вид состоит из коэффициента, вынесенного из полных множителей, умноженного на остаточный радикал. Например, √72 упрощается до 6√2, потому что 72 = 36 × 2 и √36 = 6.
Как вручную упростить квадратный корень?
Найдите наибольший полный квадрат, который делит подкоренное выражение. Возьмите его квадратный корень как коэффициент и оставьте оставшийся множитель под корнем. Для √200: 200 = 100 × 2 и √100 = 10, значит √200 = 10√2. Можно также разложить на простые множители и сгруппировать пары: 200 = 2³ × 5² = (2 × 5²) × 2 → 10√2.
Можно ли упростить радикал с отрицательным подкоренным выражением?
Для корней нечётной степени (кубический корень, корень пятой степени и т. д.) отрицательное подкоренное выражение допустимо: ∛-8 = -2, потому что (-2)³ = -8. Для корней чётной степени (квадратный корень, корень четвёртой степени и т. д.) отрицательное подкоренное выражение даёт мнимое или комплексное число, что выходит за рамки этого калькулятора. Для чётных индексов вводите положительные числа.
Что такое полный квадрат и как он помогает упростить радикалы?
Полный квадрат — это число, квадратный корень из которого является целым числом: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … Если найти в подкоренном выражении множители, являющиеся полными квадратами, можно вынести целые числа из-под корня. Аналогично, полные кубы (1, 8, 27, 64, 125, …) используются для упрощения кубических корней.
Что такое правило произведения для радикалов?
Правило произведения утверждает, что ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b для неотрицательных a и b. Это основное правило упрощения: разделите подкоренное выражение на полный степенной множитель и остаток, извлеките корень из полного множителя и оставьте остаток под знаком корня.
Почему иногда радикалы записывают с коэффициентом, например 3√5?
Запись 3√5 (или 3·√5) означает три раза квадратный корень из пяти. Коэффициент 3 вынесен из-под знака корня, потому что он получился из полного квадратного множителя. Такая запись называется упрощённой формой радикала и позволяет легко складывать подобные радикалы: 3√5 + 2√5 = 5√5, как при объединении подобных членов в алгебре.