Калькулятор обратного элемента

Мультипликативный обратный элемент — это значение, отменяющее действие умножения. В обычной арифметике обратным для ненулевого числа a является 1, деленная на a, поскольку произведение a на 1, деленную на a, равно 1. Обратное число для 8 — это 0.125, для одной второй — 2, а для отрицательного числа оно также отрицательно. У нуля нет мультипликативного обратного элемента: никакое конечное значение при умножении на ноль не дает 1. В модульной арифметике используется связанное, но отличающееся определение. Обратный элемент для целого a по модулю m — это целое x, при котором произведение a на x дает остаток 1 при делении на m. Например, обратный элемент для 7 по модулю 26 равен 15, поскольку 7 на 15 дает 105, а 105 mod 26 равно 1. Обратные элементы по модулю обычно не совпадают с десятичными обратными числами. Они принадлежат конечной системе классов вычетов; прибавление или вычитание любого кратного модуля дает другого представителя того же ответа. Обратный элемент по модулю существует тогда и только тогда, когда число и модуль взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель равен 1. Калькулятор проверяет это условие расширенным алгоритмом Евклида. Алгоритм находит коэффициенты, связывающие входные значения с их наибольшим общим делителем. Если он равен 1, коэффициент при числе можно привести по модулю m, получив наименьший неотрицательный обратный элемент. Если у входных значений есть общий делитель больше 1, никакое произведение не даст остаток 1, поэтому калькулятор сообщает, что искомого обратного элемента нет. Выбирайте режим обратного числа для дробей, масштабирования, алгебраического деления, отношений и вычислений с вещественными числами. Обратный элемент по модулю нужен для сравнений, теории чисел, криптографии, контрольных сумм и целочисленных алгоритмов. Модульные входные значения должны быть безопасно представимыми целыми числами, а модуль — больше 1. В качестве числа допустимы отрицательные целые: перед интерпретацией обратного элемента их можно привести к эквивалентному вычету. Мультипликативные обратные элементы важны при решении уравнений. Умножение обеих частей обычного уравнения на обратное число позволяет убрать ненулевой коэффициент. В уравнении по модулю умножение на обратный элемент позволяет выделить переменную только при его существовании. Криптография с открытым ключом использует эту идею для гораздо больших целых чисел, однако реальные криптографические задачи требуют специализированного ПО с произвольной точностью и постоянным временем выполнения. Этот калькулятор предназначен для учебы, проверки домашних заданий и решения арифметических примеров умеренного размера с четким разграничением двух понятий обратного элемента.