Калькулятор латус-ректума — парабола, эллипс, гипербола

Вычислите длину латус-ректума для параболы, эллипса или гиперболы.

Выберите тип конического сечения и введите необходимые параметры, чтобы сразу вычислить длину латус-ректума.

Калькулятор латус-ректума — парабола, эллипс, гипербола
Вычислите длину латус-ректума для параболы, эллипса или гиперболы.

Примеры латус-ректума

Четыре примера для всех трёх типов конических сечений.

ПараметрыЛатуc-ректумКоника / Формула
Парабола, p = 28Парабола: L = 4p = 4 × 2 = 8.
Эллипс, a = 5, b = 33.6Эллипс: L = 2b²/a = 2 × 9 / 5 = 3.6.
Гипербола, a = 4, b = 22Гипербола: L = 2b²/a = 2 × 4 / 4 = 2.
Парабола, p = 1040Парабола: L = 4p = 4 × 10 = 40.

О калькуляторе латус-ректума

Латус-ректум — это особая хорда конического сечения, проходящая через фокус и перпендикулярная главной оси. Название происходит от латыни и означает «прямая сторона». Для трёх основных конических сечений — параболы, эллипса и гиперболы — формулы латус-ректума различаются. Для параболы, заданной уравнением y² = 4px или x² = 4py, длина латус-ректума просто равна 4p, где p — расстояние от вершины до фокуса (также называемое фокальным параметром). Латус-ректум соединяет две точки параболы, расположенные непосредственно над и под (или слева и справа от) фокуса. Чем больше p, тем более полого открывается парабола и тем длиннее латус-ректум. Для эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b (где a > b) длина латус-ректума равна 2b² / a. Эта формула применима как к горизонтальному эллипсу (x²/a² + y²/b² = 1), так и к вертикальному. Латус-ректум — это хорда, проходящая через каждый фокус перпендикулярно большой оси; на самом деле таких хорд две, по одной в каждом фокусе, и обе одинаковой длины. Чем более вытянут эллипс (чем меньше b по сравнению с a), тем короче латус-ректум. Для гиперболы с полуосью трансверсали a и сопряжённой полуосью b та же формула 2b² / a даёт длину каждого латус-ректума. У гиперболы две ветви и два фокуса, поэтому у неё два латус-ректума — по одному для каждой ветви. Несмотря на очень разную форму гиперболы и эллипса, формулы совпадают, если выражать их через a и b. Латус-ректум — фундаментальное свойство, используемое в нескольких областях математики и физики. В оптике параболические зеркала и антенны фокусируют параллельные лучи в фокусе; латус-ректум определяет ширину параболы на глубине фокуса, что влияет на апертуру оптической системы. В астрономии латус-ректум эллиптической орбиты определяет расстояние от фокуса (звезды или планеты, вокруг которой обращаются), при котором скорость точно равна среднему между максимальной и минимальной орбитальными скоростями. Законы Кеплера и расчёты орбитальной механики используют латус-ректум как удобный орбитальный параметр. Этот калькулятор автоматизирует вычисления: выберите тип коники, введите нужные параметры, и инструмент сразу вычислит длину латус-ректума. Для параболы нужен только p. Для эллипса или гиперболы нужны a и b.

Как пользоваться калькулятором латус-ректума

  1. Выберите тип конического сечения в раскрывающемся списке: Парабола, Эллипс или Гипербола.
  2. Для параболы введите значение p (расстояние от вершины до фокуса). Для эллипса или гиперболы введите большую полуось a и малую полуось b.
  3. Нажмите «Вычислить латус-ректум», чтобы получить результат.
  4. Результат покажет длину латус-ректума и используемую формулу (4p для параболы, 2b²/a для эллипса и гиперболы).
  5. Нажмите Сбросить, чтобы очистить поля и начать новый расчёт с другой коникой.

Часто задаваемые вопросы

Что такое латус-ректум конического сечения?
Латус-ректум — это хорда, проходящая через фокус конического сечения и перпендикулярная главной оси. Его длина — важная геометрическая характеристика, определяющая «ширину» коники на уровне фокуса. Для параболы она равна 4p, а для эллипса или гиперболы — 2b²/a.
Почему одна и та же формула работает и для эллипса, и для гиперболы?
Хотя эллипс и гипербола выглядят очень по-разному, обе фигуры описываются уравнениями с полуосями a и b, и обе имеют фокусы на расстоянии c от центра. Длину латус-ректума можно вывести из фундаментального соотношения b² = a² − c² (эллипс) или b² = c² − a² (гипербола), и в обоих случаях формула упрощается до 2b²/a.
В чём разница между большой и малой полуосями?
Для эллипса большая полуось a — это половина длины наибольшего диаметра, а малая полуось b — половина длины наименьшего диаметра. Для гиперболы a — это полуось трансверсали (половина расстояния между вершинами), а b — сопряжённая полуось. Во всех случаях для эллипса a должен быть большим из двух значений.
Как используется латус-ректум в астрономии?
В небесной механике орбита планеты — это эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Полулатус-ректум (половина длины латус-ректума) связывает геометрию орбиты с физическими величинами. Он появляется в уравнении орбиты r = l / (1 + e∂cosθ), где l — полулатус-ректум, а e∂ — эксцентриситет. Он определяет радиус орбиты, когда истинная аномалия равна 90°, то есть когда планета находится строго сбоку от фокуса.
Можно ли использовать латус-ректум для окружности?
Окружность — это частный случай эллипса, когда a = b и эксцентриситет равен нулю. Оба фокуса совпадают в центре, а «латус-ректум», проходящий через центр, имеет длину 2a, то есть диаметр. Этот калькулятор предназначен для общих конических сечений; для окружности достаточно помнить, что латус-ректум равен диаметру.