Калькулятор квадратных неравенств
Анализируйте и стройте графики квадратных неравенств вида ax² + bx + c op 0, получая корни, вершину, множество решений и интервальную запись.
Введите коэффициенты a, b, c и выберите знак неравенства, чтобы проанализировать параболу и определить множество решений.
Калькулятор квадратных неравенств
Анализируйте и стройте графики квадратных неравенств вида ax² + bx + c op 0, получая корни, вершину, множество решений и интервальную запись.
О калькуляторе квадратных неравенств
Квадратное неравенство — это неравенство, в котором используется квадратное выражение, то есть многочлен второй степени, и оно сравнивается со значением с помощью <, ≤, > или ≥. Наиболее распространённая форма — ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c < 0, где a ≠ 0. В отличие от квадратного уравнения, которое ищет конкретные значения x, делающие выражение равным нулю, квадратное неравенство ищет все значения x, при которых выражение положительно, отрицательно, неположительно или неотрицательно. Ответ обычно представляет собой интервал или объединение интервалов на числовой прямой.
Ключ к решению квадратного неравенства — понять параболу y = ax² + bx + c. Знак a определяет, открывается ли парабола вверх (a > 0) или вниз (a < 0). Пересечения с осью x — корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0 — это точки, в которых парабола пересекает или касается оси x. Дискриминант Δ = b² − 4ac показывает, сколько действительных корней существует: если Δ > 0, есть два различных действительных корня; если Δ = 0, есть ровно один (двойной корень); если Δ < 0, действительных корней нет.
Чтобы решить ax² + bx + c > 0 при Δ > 0 и a > 0: парабола открывается вверх и опускается ниже оси x между своими двумя корнями. Поэтому выражение положительно вне корней — то есть при x < r₁ или x > r₂. Для неравенства < 0 при тех же условиях решение — интервал между корнями: r₁ < x < r₂. Когда a < 0, парабола открывается вниз, и эти случаи меняются местами.
Когда Δ = 0, есть только одна точка касания. При a > 0 выражение ≥ 0 для всех x (касаясь нуля только в двойном корне) и < 0 ни при каком x. Если Δ < 0 и a > 0, парабола никогда не пересекает ось x и остаётся полностью выше неё, поэтому ax² + bx + c > 0 для всех действительных x, а неравенство < 0 не имеет решения.
Квадратные неравенства возникают в движении тела по траектории (когда объект выше заданной высоты?), оптимизации (при каких входах затраты превышают доход?), обработке сигналов (полосы частот) и инженерных допусках. Формула дискриминанта b² − 4ac и квадратная формула x = (−b ± √Δ) / (2a) — два основных инструмента анализа.
Этот калькулятор принимает коэффициенты a, b и c и знак неравенства, затем вычисляет дискриминант, находит действительные корни, определяет вершину и описывает множество решений как словами, так и в интервальной записи. Также указывается направление открытия параболы, чтобы помочь визуализировать график.
Примеры квадратных неравенств
Четыре случая: параболы, открытые вверх и вниз, два различных корня и двойной корень.
| Неравенство | Множество решений | Примечания |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | Парабола открывается вверх, корни x=1 и x=3. Выражение положительно вне корней. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | Парабола открывается вниз, корни x=−1 и x=3. Выражение неположительно вне корней. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | Нет решения | Дискриминант Δ = 9 − 32 = −23 < 0 и a > 0, поэтому выражение всегда положительно. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | Все действительные числа | Двойной корень при x=3 (полный квадрат). Выражение равно нулю только при x=3 и положительно везде иначе. |
Как пользоваться калькулятором квадратных неравенств
- Введите коэффициенты a (при x²), b (при x) и c (константа). a не должен быть равен 0.
- Выберите знак неравенства в выпадающем списке: >, ≥, < или ≤.
- Нажмите «Построить неравенство». Калькулятор вычислит дискриминант, найдёт корни (если они есть), определит вершину и полное множество решений.
- Смотрите множество решений в интервальной записи на панели результата. Символ ∪ означает, что решение состоит из двух отдельных интервалов.
- Используйте «Сбросить», чтобы очистить поля и начать новую задачу.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе квадратных неравенств
Что такое квадратное неравенство?
Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥ или ≤, где a ≠ 0. Вместо поиска конкретных x, как в уравнении, нужно найти все x, которые удовлетворяют неравенству — обычно это диапазон или объединение диапазонов.
Как знак старшего коэффициента a влияет на решение?
Когда a > 0, парабола открывается вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями и положительно вне их. Когда a < 0, парабола открывается вниз, поэтому выражение положительно между корнями и отрицательно вне их. Смена знака a по сути переворачивает множество решений.
Что происходит, когда дискриминант отрицателен?
Если Δ = b² − 4ac < 0, парабола никогда не пересекает ось x. Когда a > 0, выражение всегда положительно, поэтому ax²+bx+c > 0 верно для всех действительных x (решение = ℝ), а ax²+bx+c < 0 не имеет решения. Когда a < 0, всё наоборот.
Что такое двойной корень и что он означает для решения?
Двойной корень возникает, когда Δ = 0, то есть парабола касается оси x ровно в одной точке. При a > 0 выражение ≥ 0 для всех x (решение для ≥ — все действительные числа), а строго отрицательным оно не бывает (нет решения для <). Для неравенства ≤ с двойным корнем r решение — только точка x = r.
Как читать интервальную запись в результате?
Круглые скобки ( ) обозначают строгие границы (не включены, используются для > или <), а квадратные скобки [ ] — включающие границы (для ≥ или ≤). Символ ∪ означает «объединение» — решение состоит из всех чисел, принадлежащих одному из интервалов.
Может ли решение быть множеством всех действительных чисел?
Да. Если a > 0 и Δ < 0, то ax² + bx + c > 0 для всех действительных x, поэтому решение для ax²+bx+c > 0 (или ≥ 0) — ℝ. Аналогично, если a < 0 и Δ < 0, то ax²+bx+c < 0 для всех действительных x.