Калькулятор котангенса - cot(x) град радиан градиан
Мгновенно вычисляйте котангенс любого угла или пары координат. Поддерживаются градусы, радианы и градианы с высокой точностью.
Выберите режим ввода: угол или координаты, введите значение и нажмите «Вычислить», чтобы получить котангенс и используемую формулу.
Калькулятор котангенса - cot(x) град радиан градиан
Мгновенно вычисляйте котангенс любого угла или пары координат. Поддерживаются градусы, радианы и градианы с высокой точностью.
О калькуляторе котангенса
Котангенс — одна из шести основных тригонометрических функций. Он определяется как обратная величина тангенса: cot(θ) = 1/tan(θ) = cos(θ)/sin(θ). В прямоугольном треугольнике котангенс равен отношению прилежащего катета к противолежащему — то есть обратному отношению тангенса.
Котангенс периодичен с периодом π (180°), то есть cot(θ + π) = cot(θ) для любого допустимого θ. Его область определения исключает все целые кратные π (то есть 0°, 180°, 360° и так далее), поскольку в этих точках sin(θ) = 0, а деление на ноль не определено. В исключённых значениях функция имеет вертикальные асимптоты.
Для стандартных углов, которые запоминают на курсах тригонометрии: cot(30°) = √3 ≈ 1.732, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3 ≈ 0.577, а cot(90°) = 0. Эти значения напрямую следуют из известных значений синуса и косинуса для данных углов.
Котангенс широко используется в инженерии и физике. В строительной инженерии его применяют для анализа угла наклона поверхностей: если крыша поднимается на высоту h на горизонтальном участке r, то tan(θ) = h/r и cot(θ) = r/h, то есть обратная величина уклона крыши. В физике котангенс встречается в анализе гармонических осцилляторов, распространения волн и квантовой механики. В навигации и геодезии соотношения котангенса помогают вычислять горизонтальные расстояния по наблюдаемым углам возвышения.
Этот калькулятор поддерживает три системы измерения углов. Градусы делят полный оборот на 360 равных частей и используются в повседневной геометрии и навигации. Радианы определяют угол через отношение длины дуги к радиусу, поэтому они естественны для математического анализа и физики, поскольку производные синуса и косинуса в радианах имеют самый простой вид. Градианы (также называемые grad или gon) делят полный оборот на 400 равных частей, поэтому прямой угол равен ровно 100 градианам — система, используемая в некоторых европейских геодезических традициях.
В режиме координат котангенс вычисляется по точке (x, y) на плоскости. Если луч из начала координат проходит через (x, y), то угол θ, который он образует с положительной осью x, удовлетворяет tan(θ) = y/x, следовательно cot(θ) = x/y. Это полезно, когда известны координаты точки, но не задан сам угол.
Примеры калькулятора котангенса
Стандартные углы и пример с координатами, показывающий работу котангенса.
| Ввод | cot(θ) | Примечания |
|---|---|---|
| 45° (градусы) | 1 | cot(45°) = cos(45°)/sin(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1. В 45° тангенс и котангенс равны. |
| 30° (градусы) | 1.732051 | cot(30°) = cos(30°)/sin(30°) = (√3/2)/(1/2) = √3 ≈ 1.732. Классический результат для стандартного угла. |
| π/6 радиан | 1.732051 | π/6 рад = 30°. Результат совпадает с расчётом в градусах выше, что подтверждает перевод единиц. |
| Координаты: X=3, Y=4 | 0.75 | cot(θ) = X/Y = 3/4 = 0.75. Точка (3, 4) даёт угол θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°. |
Как пользоваться калькулятором котангенса
- Выберите режим ввода: «Угол», если у вас есть значение угла, или «Координаты», если у вас есть точка (x, y) на плоскости.
- В режиме угла введите значение угла и выберите единицу — градусы, радианы или градианы.
- В режиме координат введите значения X (прилежащий/горизонтальный) и Y (противолежащий/вертикальный) координат.
- Нажмите «Вычислить котангенс». Результат появится ниже вместе с формулой для справки.
- Если для вашего ввода котангенс не определён (например, 0°, 180°), калькулятор покажет объяснение вместо числа.
FAQ по калькулятору котангенса
Что такое функция котангенса?
Котангенс — это тригонометрическая функция, определённая как cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) = 1/tan(θ). В прямоугольном треугольнике он равен отношению прилежащего катета к противолежащему. Котангенс — обратная величина тангенса и дополняет тангенс примерно так же, как косеканс дополняет синус, а секанс — косинус.
Где котангенс не определён?
Котангенс не определён там, где sin(θ) = 0, что происходит при θ = 0°, 180°, 360° и любом целочисленном кратном 180° (или 0, π, 2π в радианах). В этих точках у котангенса есть вертикальные асимптоты — значение функции стремится к положительной или отрицательной бесконечности с обеих сторон, но сама функция в асимптоте конечного значения не имеет.
Чем котангенс отличается от тангенса?
Тангенс определяется как sin(θ)/cos(θ) и равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике. Котангенс — точный обратный: cos(θ)/sin(θ), то есть прилежащий катет, делённый на противолежащий. Они не определены при разных углах: тангенс — при 90° и 270°, а котангенс — при 0° и 180°. Их графики являются зеркальными отражениями друг друга относительно прямой y = x.
Как перевести между единицами угла?
Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π/180. Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте на 180/π. Чтобы перевести градусы в градианы, умножьте на 10/9. Калькулятор выполняет все переводы внутри — просто выберите единицу вашего угла и введите значение напрямую.
Чему равен котангенс прямого угла (90°)?
cot(90°) = cos(90°)/sin(90°) = 0/1 = 0. В прямом угле тангенс не определён (потому что cos(90°) = 0 в знаменателе), но котангенс вполне определён и равен нулю. Поэтому cot(90°) = 0, хотя tan(90°) не определён.
Как котангенс используется в инженерии?
Инженеры используют котангенс при расчётах уклона и наклона, в структурном анализе и обработке сигналов. Например, уклон дороги выражается как подъём на пробег (тангенс), а горизонтальное расстояние на единицу вертикального подъёма — это котангенс. В электромагнитной теории функции котангенса появляются в расчётах линий передачи и граничных условиях волноводов.