Калькулятор двойного угла
Вычисляйте sin(2x), cos(2x) и tan(2x) по формулам двойного угла — введите угол в градусах или радианах и сразу получите результат.
Введите угол, выберите единицы измерения и укажите, какие формулы двойного угла показать.
Калькулятор двойного угла
Вычисляйте sin(2x), cos(2x) и tan(2x) по формулам двойного угла — введите угол в градусах или радианах и сразу получите результат.
О калькуляторе двойного угла
Формулы двойного угла — это тригонометрические тождества, выражающие sin(2x), cos(2x) и tan(2x) через sin(x) и cos(x). Они часто используются в тригонометрии, математическом анализе, физике и инженерии, потому что позволяют уменьшать аргумент тригонометрической функции вдвое.
Три основные формулы двойного угла: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x); cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), что также можно записать как 2cos²(x) − 1 или 1 − 2sin²(x); и tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)). Тангенс tan(2x) не определён, когда cos(2x) = 0, то есть при 2x = 90°, 270° и т. д.
Формула для синуса sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) напрямую следует из формулы сложения sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), если положить a = b = x. Тот же приём для cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) даёт cos(2x) = cos²(x) − sin²(x). Используя тождество sin²(x) + cos²(x) = 1, можно подставить sin²(x) = 1 − cos²(x) и получить cos(2x) = 2cos²(x) − 1, либо подставить cos²(x) = 1 − sin²(x) и получить cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Все три формы эквивалентны и полезны в разных задачах.
В математическом анализе формулы двойного угла особенно важны при интегрировании произведений синуса и косинуса. Например, интеграл от sin(x)cos(x) упрощается, если заметить, что подынтегральное выражение равно (1/2)sin(2x), после чего интегрирование становится простым. Аналогично, интегралы от sin²(x) и cos²(x) удобно сводить к формулам половинного угла, полученным из формулы для cos(2x).
В физике тождества двойного угла встречаются в волновой механике, оптике и механике. Формула дальности полёта R = (v²/g)sin(2θ) использует синус двойного угла, чтобы выразить максимальную дальность через угол броска. Интерференционные картины, гармонические осцилляторы и вращающиеся механизмы также содержат комбинации тригонометрических функций, где формулы двойного угла упрощают анализ.
Этот калькулятор принимает любой угол в градусах или радианах. Внутри входное значение переводится в радианы, вычисляются sin(x) и cos(x), а затем по тождествам получаются sin(2x), cos(2x) и tan(2x). Если tan(2x) не определён (то есть двойной угол равен нечётному кратному 90°), калькулятор явно показывает «Не определено» вместо большого или вводящего в заблуждение числа. Результаты отображаются с десятью значащими цифрами для точности.
Примеры формулы двойного угла
Распространённые опорные углы с точными или очень точными значениями двойного угла.
| Угол (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | Примечания |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. Часто используемый опорный угол с точными значениями. |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = Не определено | Удвоение 45° даёт 90°. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0. Тангенс не определён, так как cos(90°) = 0. |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | Двойной угол 120° находится во второй четверти: синус положителен, косинус отрицателен, тангенс тоже отрицателен. |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 радиан равен 30°. Результат совпадает с первым примером, что подтверждает перевод единиц. |
Как пользоваться калькулятором двойного угла
- Введите значение угла x в поле Угол. Допускается любое действительное число — положительное, отрицательное или ноль.
- Выберите единицы: Градусы для привычных углов вроде 30°, 45°, 60° или Радианы для значений вроде π/6.
- Выберите тип формулы: «Все формулы» покажет sin(2x), cos(2x) и tan(2x); если нужен только один результат, можно выбрать отдельную формулу.
- Нажмите «Вычислить». Панель результатов покажет значения выбранных формул и при необходимости пометит tan(2x) как «Не определено».
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить ввод, или измените угол и единицы, чтобы посмотреть другие значения.
Частые вопросы о калькуляторе двойного угла
Какова формула двойного угла для синуса?
Формула двойного угла для синуса: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Она выводится из формулы сложения sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), если положить a и b равными x. Это тождество используется в интегрировании, физике и обработке сигналов.
Почему существует три версии формулы двойного угла для косинуса?
Все три версии — cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1 и cos(2x) = 1 − 2sin²x — эквивалентны. Первая напрямую следует из формулы сложения для косинуса. Две другие получаются подстановкой тождества sin²x + cos²x = 1. Разные формы удобны в разных задачах интегрирования и упрощения.
Когда tan(2x) не определён?
tan(2x) не определён, когда cos(2x) = 0, что происходит при 2x = 90° + 180°k для любого целого k, то есть при x = 45° + 90°k. В этих углах формула tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) приводит к делению на ноль, а сам тангенс стремится к ±∞.
Как формулы двойного угла используются в математическом анализе?
Формулы двойного угла важны для вычисления интегралов степеней тригонометрических функций. Например, ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx, что легко интегрируется. Без этих тождеств такие интегралы были бы намного сложнее.
Можно ли применять формулы двойного угла к отрицательным углам?
Да. Поскольку sin и cos определены для всех действительных чисел, формулы двойного угла работают и для отрицательных углов. Например, sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866. Калькулятор принимает любое действительное число в качестве угла.
Как связаны формулы двойного угла и формулы половинного угла?
Формулы половинного угла выводятся заменой x на x/2 в формулах двойного угла. Например, из cos(2x) = 1 − 2sin²x при замене x → x/2 получаем cos(x) = 1 − 2sin²(x/2), что преобразуется в sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Эти формулы полезны для вычисления тригонометрических значений углов, равных половине знакомых опорных углов.