Калькулятор формул суммы и разности
Вычисляйте точные тригонометрические значения с помощью формул сложения и вычитания углов.
Выберите тригонометрическую функцию и операцию, введите два угла и получите точный результат с отображением формулы.
Калькулятор формул суммы и разности
Вычисляйте точные тригонометрические значения с помощью формул сложения и вычитания углов.
О формулах суммы и разности
Формулы суммы и разности, также известные как формулы сложения и вычитания углов, — это набор тригонометрических равенств, выражающих тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов через тригонометрические функции отдельных углов. Они позволяют точно находить sin, cos или tan для углов вроде 75° или 15° без калькулятора, разбивая их на углы, значения тригонометрических функций которых уже известны (например, 30°, 45° и 60°).
Шесть основных формул: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B); sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B); cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B); cos(A − B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B); tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 − tan(A)tan(B)); и tan(A − B) = (tan(A) − tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)). Эти тождества точны — они не содержат приближений — и их можно доказать с помощью единичной окружности или геометрических рассуждений.
Калькулятор принимает углы как в градусах, так и в радианах. При использовании градусов вводите значения вроде 30, 45 или 90. При использовании радиан вводите десятичные приближения (например, 0.5236 для π/6) или точные десятичные значения. Выбор единицы важен, потому что тригонометрические функции дают разные значения для одного и того же числа в зависимости от того, представляет оно градусы или радианы.
В физике эти тождества незаменимы при анализе суперпозиции волн. Когда складываются две волны одной частоты, но с разными фазами, амплитуда результирующей волны напрямую определяется формулами суммы и разности. В электротехнике фазовые соотношения между напряжением и током в цепях переменного тока описываются той же математикой. Компьютерная графика использует их для поворота точек и векторов в 2D- и 3D-пространстве: матрица поворота полностью строится из косинуса и синуса угла поворота.
В математике формулы суммы и разности служат отправной точкой для вывода многих других тригонометрических соотношений: формулы двойного угла, половинного угла и преобразования произведения в сумму напрямую следуют из этих шести тождеств. Их освоение даёт основу для математического анализа, анализа Фурье, обработки сигналов и любой области, опирающейся на периодические функции.
Примеры формул суммы и разности
Практические примеры показывают, как применять тождества к распространённым углам.
| Ввод | Результат | Примечания |
|---|---|---|
| sin(45° + 30°) | sin(75°) ≈ 0.9659 | sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4. |
| cos(60° − 45°) | cos(15°) ≈ 0.9659 | cos(60°)cos(45°) + sin(60°)sin(45°) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4. |
| tan(π/6 + π/4) в радианах | tan(5π/12) ≈ 3.7321 | (tan(π/6)+tan(π/4))/(1−tan(π/6)tan(π/4)) = (1/√3+1)/(1−1/√3) после упрощения. |
| sin(120° − (−30°)) | sin(150°) = 0.5 | Отрицательный угол B: sin(150°) = sin(90°+60°) = 0.5. Показывает корректную обработку отрицательных углов. |
Как пользоваться калькулятором формул суммы и разности
- Выберите тригонометрическую функцию (синус, косинус или тангенс) в первом раскрывающемся списке.
- Выберите операцию: сумма (A + B) или разность (A − B) во втором раскрывающемся списке.
- Введите угол A и угол B в соответствующие поля.
- Выберите единицу измерения угла (градусы или радианы), соответствующую вашему вводу.
- Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть численный результат и конкретную формулу тождества, которая была применена.
Частые вопросы о формулах суммы и разности
Для чего используются формулы суммы и разности?
Они позволяют вычислять точные тригонометрические значения для углов, образованных комбинацией стандартных углов (например, 30°, 45° и 60°), и лежат в основе многих других тригонометрических тождеств. В прикладных областях они используются в физике для анализа волн, в инженерии для расчёта фаз в цепях переменного тока и в компьютерной графике для поворотов.
Когда использовать градусы, а когда радианы?
Используйте градусы для повседневных задач геометрии и навигации, а также при работе с углами из таблиц или транспортира. Используйте радианы в математическом анализе, физике и инженерии, где естественной единицей угла в формулах является радиан. Калькулятор использует выбранную вами единицу; просто убедитесь, что угол A и угол B заданы в одной и той же единице.
Чем тангенс отличается от синуса и косинуса в этих формулах?
Формулы суммы и разности для тангенса содержат знаменатель (1 ∓ tan(A)tan(B)), который может быть равен нулю. В таких сочетаниях углов тангенс не определён. Калькулятор обнаруживает это и показывает ошибку. Формулы суммы и разности для синуса и косинуса не имеют такого ограничения и работают для всех действительных углов.
Как найти sin(75°) с помощью этих тождеств?
Запишите 75° = 45° + 30°, затем примените sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B). Подстановка даёт: sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 ≈ 0.9659. Введите в калькуляторе Function=sin, Operation=Sum, A=45, B=30, чтобы проверить.
Работают ли эти тождества с отрицательными углами?
Да. Тождества верны для всех действительных углов, положительных и отрицательных. Например, sin(A − B), когда B отрицателен, то же самое, что sin(A + |B|). Калькулятор принимает отрицательные значения в полях углов и правильно применяет формулы.
Результаты точные или приблизительные?
Численные результаты являются приближениями с плавающей точкой примерно до 15 значащих цифр. Сами формулы — точные математические тождества: например, sin(75°) = (√6+√2)/4 точно, но калькулятор отображает десятичный эквивалент для практического использования.