Калькулятор длины спирали

Архимедова спираль — это полярная кривая, радиус которой изменяется с постоянной скоростью при изменении угла. Её уравнение: r = a + bθ, где a — радиус при нулевом угле, b — радиальный прирост на каждый радиан, а θ — угол в радианах. Поэтому одинаковые приращения угла вызывают одинаковые изменения радиуса, обеспечивая постоянное расстояние между соседними витками. Такая спираль встречается в рулонных материалах, канавках, катушках, антеннах и математических моделях. Логарифмическая спираль описывается иначе: r = a, умноженное на e в степени bθ. При одинаковых приращениях угла её радиус изменяется в постоянной пропорции, поэтому расстояние между витками растёт геометрически, а не арифметически. Логарифмические спирали встречаются в моделях роста, конструкциях антенн и природных формах. Калькулятор поддерживает оба семейства и применяет точную первообразную для выбранного уравнения. Для нахождения длины спирали недостаточно умножить средний радиус на угол: кривая одновременно движется вокруг начала координат и в радиальном направлении. Для полярной кривой подынтегральная функция длины дуги — это квадратный корень из суммы квадрата r и квадрата производной r по θ. У архимедовой спирали производная равна просто b. У логарифмической она равна b, умноженному на текущий радиус, что даёт компактную экспоненциальную формулу длины. Вычисления выполняются по формулам в замкнутом виде, без разбиения кривой на множество коротких прямых отрезков. При нулевом b обе спирали имеют постоянный радиус и превращаются в дуги окружности; тогда используется простая формула произведения радиуса на угловой интервал. Углы, введённые в градусах, перед применением любой формулы переводятся в радианы. Начальный радиус и прирост следует понимать в соответствии с выбранной моделью. Для архимедовой спирали прирост имеет размерность длины на радиан, а экспоненциальный коэффициент логарифмической спирали безразмерен. Полученная длина дуги выражается в единицах начального радиуса. Отрицательный прирост описывает спираль, закручивающуюся внутрь при увеличении угла; длина остаётся неотрицательной. Реальные катушки имеют толщину, деформации и допуски, не учитываемые идеальной моделью осевой линии. При планировании длины материала используйте радиус осевой линии ленты или проволоки и добавляйте практический запас. Отображение с шестью знаками после запятой делает результат наглядным, а внутренние вычисления сохраняют стандартную двойную точность.