Калькулятор хорды - хорда, радиус и центральный угол
Вычисляйте длину хорды по радиусу и центральному углу, находите радиус по хорде и углу или определяйте центральный угол по радиусу и хорде. Бесплатный онлайн-инструмент для геометрии круга.
Выберите, что нужно вычислить, укажите градусы или радианы, введите два известных значения и сразу получите результат по формуле.
Калькулятор хорды - хорда, радиус и центральный угол
Вычисляйте длину хорды по радиусу и центральному углу, находите радиус по хорде и углу или определяйте центральный угол по радиусу и хорде. Бесплатный онлайн-инструмент для геометрии круга.
Введите радиус и центральный угол, чтобы вычислить прямое расстояние между двумя концами хорды на окружности.
Загрузить пример:
О калькуляторе хорды
Хорда — один из основных отрезков в геометрии круга. Она соединяет любые две различные точки окружности и делит внутреннюю область круга на две части. Диаметр — это частный случай хорды, проходящий через центр, и он является самой длинной хордой в любом круге. Любая другая хорда строго короче диаметра и стягивает центральный угол строго меньше 180°.
Связь между длиной хорды, радиусом и центральным углом задаётся формулой c = 2r × sin(θ/2), где c — длина хорды, r — радиус, а θ — центральный угол в радианах. Эта формула выводится из теоремы косинусов. Если провести радиусы к обоим концам хорды, получится равнобедренный треугольник с двумя сторонами длины r и включённым углом θ. Применение теоремы косинусов даёт c² = 2r²(1 − cos θ). Используя формулу половинного угла 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2), получаем c = 2r sin(θ/2).
Калькулятор поддерживает три режима, соответствующие трём способам преобразования этой формулы. В режиме Найти длину хорды вы вводите r и θ, и калькулятор напрямую вычисляет 2r sin(θ/2). В режиме Найти радиус вы вводите c и θ, и калькулятор вычисляет r = c / (2 sin(θ/2)), что полезно, когда хорда измерена на практике, а известен угол соответствующей дуги. В режиме Найти центральный угол вы вводите r и c, и калькулятор вычисляет θ = 2 arcsin(c / (2r)), то есть угол, синус которого равен c/(2r).
Единицы угла можно свободно переключать между градусами и радианами. Для большинства пользователей градусы интуитивнее и используются по умолчанию, но в инженерных и научных расчётах часто применяются радианы, потому что равенство длина дуги = r × θ верно только в радианах. Калькулятор выполняет преобразование внутри, так что вы можете работать в той системе, которая используется в исходных данных.
Расчёты хорды широко применяются на практике. В строительной инженерии при проектировании арочных мостов используют связь между пролётом, подъёмом и радиусом кривизны. В машиностроении геометрия эвольвентных зубьев шестерён зависит от расчётов хорды на делительных окружностях. Геодезисты используют длину хорды вместе с измерениями дуг, чтобы вычислять расстояния, когда кривые мешают прямой видимости. В столярном деле мастер, которому нужно вырезать изогнутую деталь, перекрывающую заданное расстояние под заданным углом, использует именно эту формулу. В истории навигации использовались таблицы хорд — предшественники современных тригонометрических таблиц — для вычисления расстояний на сферических поверхностях.
Этот калькулятор обрабатывает любые допустимые комбинации входных данных в пределах физических ограничений: радиусы должны быть положительными, длина хорды должна быть положительной и не превышать удвоенный радиус, а углы должны быть положительными и меньше 360° или 2π радиан. Результаты округляются до восьми знаков после запятой, чего более чем достаточно для любой практической задачи.
Примеры калькулятора хорды
Три разобранных примера, показывающих каждый из трёх режимов вычисления на реалистичных значениях.
| Входные данные | Результат | Пояснение |
|---|---|---|
| Радиус = 10, центральный угол = 60° | Длина хорды ≈ 10.000 | хорда = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10. В окружности радиуса 10 центральный угол 60° даёт хорду, равную радиусу. |
| Хорда = 10, центральный угол = 90° | Радиус ≈ 7.0711 | r = 10 / (2 × sin(45°)) = 10 / (2 × 0.7071) ≈ 7.07. Полезно, когда вы измерили хорду на местности и знаете, что дуга охватывает прямой угол. |
| Радиус = 5, хорда = 5 | Центральный угол = 60° | θ = 2 × arcsin(5/10) = 2 × 30° = 60°. У вписанного в окружность равностороннего треугольника все хорды равны радиусу, а все центральные углы равны 60°. |
Как пользоваться калькулятором хорды
- Выберите режим вычисления: найти длину хорды, если известны радиус и центральный угол, найти радиус, если известны хорда и угол, или найти центральный угол, если известны радиус и хорда.
- С помощью кнопок единиц угла выберите, вводите ли вы угол в градусах или радианах.
- Введите два известных значения в поля, которые появляются для выбранного режима.
- Нажмите Вычислить, чтобы увидеть результат и формулу, использованную в расчёте.
- Используйте кнопки примеров, чтобы загрузить готовые значения и посмотреть, как связаны хорда, радиус и угол в разных ситуациях.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе хорды
Что такое хорда в геометрии?
Хорда — это отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр — самая длинная хорда; он проходит через центр и соответствует центральному углу 180°. Все остальные хорды короче диаметра и стягивают меньшие центральные углы.
Какова формула длины хорды?
Стандартная формула: хорда = 2r × sin(θ/2), где r — радиус окружности, а θ — центральный угол в радианах или градусах. Она выводится из теоремы косинусов для равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Её можно преобразовать в r = c / (2 × sin(θ/2)) для радиуса или θ = 2 × arcsin(c / (2r)) для угла.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет. Диаметр — это максимальная длина хорды для любой окружности. Если ввести длину хорды больше чем вдвое превышающую радиус, калькулятор покажет ошибку, потому что для такой комбинации не существует допустимого центрального угла. Математически аргумент arcsin превысит 1, а вещественного решения не будет.
Как перевести градусы в радианы и обратно?
Умножьте градусы на π/180, чтобы получить радианы, или умножьте радианы на 180/π, чтобы получить градусы. Например, 60° равны π/3, то есть примерно 1.0472 радиана, а π/2, то есть примерно 1.5708 радиана, равны 90°. Этот калькулятор принимает обе единицы и преобразует их внутри, так что вы можете работать в привычной системе.
В чём разница между длиной хорды и длиной дуги?
Длина хорды — это прямое расстояние между двумя точками на окружности. Длина дуги — это расстояние вдоль кривой окружности между теми же точками. Длина дуги равна r × θ, если θ измеряется в радианах, а длина хорды — 2r × sin(θ/2). При малых углах они почти одинаковы, но при больших центральных углах различие становится заметным.
Где на практике используются расчёты хорды?
Расчёты хорды применяются в архитектуре (арки, изогнутые балки), в машиностроении (геометрия зубьев шестерён, профили кулачков), в геодезии (вычисление горизонтальных расстояний по измерениям дуг) и в расчёте конструкций (проектирование арок мостов). Плотники и металлообработчики тоже используют эту формулу, когда нужно вырезать изогнутую заготовку под заданный пролёт.