Калькулятор дискриминанта - корни квадратного уравнения
Вычислите дискриминант Δ = b² − 4ac любого квадратного уравнения и сразу определите, являются ли его корни действительными, кратными или комплексными.
Калькулятор дискриминанта - корни квадратного уравнения
Вычислите дискриминант Δ = b² − 4ac любого квадратного уравнения и сразу определите, являются ли его корни действительными, кратными или комплексными.
Введите коэффициенты a, b и c уравнения ax² + bx + c = 0. Коэффициент a не может быть равен нулю.
Загрузить быстрый пример:
О калькуляторе дискриминанта
Дискриминант — это одно число, которое до решения квадратного уравнения уже содержит всю информацию о его корнях. Он выводится из формулы квадратного уравнения: Δ = b² − 4ac находится под знаком корня в x = (−b ± √Δ) / (2a). Только знак дискриминанта определяет, есть ли у уравнения два различных действительных корня (Δ > 0), один кратный действительный корень (Δ = 0) или два комплексно-сопряжённых корня (Δ < 0).
Когда Δ положителен, его квадратный корень — положительное действительное число, а знак ± в формуле даёт два разных действительных значения. Больший корень равен (−b + √Δ)/(2a), меньший — (−b − √Δ)/(2a). Чем больше дискриминант, тем дальше друг от друга обычно находятся корни; при небольшом положительном Δ они ближе. На графике y = ax² + bx + c положительный дискриминант означает, что парабола пересекает ось x в двух разных точках.
Когда Δ равен нулю, √Δ = 0, и обе ветви, + и −, дают один и тот же ответ: x = −b/(2a). Это вершина параболы, и к оси x кривая касается ровно в этой одной точке. Полные квадраты, такие как (x − 3)² = x² − 6x + 9, всегда имеют нулевой дискриминант: Δ = 36 − 36 = 0.
Когда Δ отрицателен, действительного квадратного корня у Δ нет, и в решениях появляется мнимая единица i = √(−1). Два корня — комплексно-сопряжённые числа вида (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a). Хотя они не соответствуют точкам пересечения с осью x на действительной числовой прямой, в системе комплексных чисел это настоящие решения, которые часто встречаются в обработке сигналов, теории управления и физике.
Дискриминант имеет важные связи и с другими разделами математики. В формуле квадратного уравнения он напрямую определяет два решения. В аналитической геометрии он задаёт положение параболы относительно оси x. В теории уравнений он обобщается на многочлены более высокой степени как мера того, сколько корней совпадает. Формулы Виета связывают дискриминант с суммой и произведением корней: для ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, произведение — c/a, а в нормализованном виде Δ = (сумма корней)² − 4(произведение корней) × a²/a².
Введите любые допустимые a, b, c в калькулятор дискриминанта, чтобы сразу увидеть Δ, характер корней и их конкретные значения. Калькулятор обрабатывает все три случая — положительный, нулевой и отрицательный дискриминант — и показывает комплексные корни в стандартной форме a + bi.
Примеры дискриминанта
Три стандартных случая, охватывающих все возможные результаты дискриминанта.
| Уравнение | Дискриминант | Характер корней |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0. Два различных действительных корня: x = 3 и x = 2. |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0. Один кратный корень: x = 2. Парабола касается оси x ровно один раз. |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0. Два комплексно-сопряжённых корня: x = −1 ± 2i. Парабола не пересекает ось x. |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0. Два различных действительных корня: x = 3 и x = 1. |
Как пользоваться калькулятором дискриминанта
- Определите коэффициенты a, b и c вашего квадратного уравнения, записанного в стандартном виде ax² + bx + c = 0.
- Введите a в первое поле, b — во второе, c — в третье. Помните, что a должно быть ненулевым.
- Нажмите «Вычислить дискриминант», чтобы увидеть Δ = b² − 4ac, характер корней и сами корни.
- Используйте кнопки быстрого примера, чтобы попробовать три классических случая с положительным, нулевым и отрицательным дискриминантом.
- Нажмите «Сбросить», чтобы вернуть значения по умолчанию и начать новый расчёт.
FAQ по калькулятору дискриминанта
Что такое дискриминант квадратного уравнения?
Дискриминант уравнения ax² + bx + c = 0 — это выражение Δ = b² − 4ac. Оно стоит под корнем в формуле квадратного уравнения и определяет количество и тип корней без полного решения уравнения. Положительный дискриминант означает два различных действительных корня, ноль — один кратный корень, отрицательный — два комплексно-сопряжённых корня.
Как использовать дискриминант для нахождения корней?
Когда известно Δ, подставьте его в формулу квадратного уравнения: x = (−b ± √Δ) / (2a). Если Δ > 0, используйте +√Δ и −√Δ, чтобы получить два действительных корня. Если Δ = 0, единственный корень — −b/(2a). Если Δ < 0, корни комплексные: x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a).
Что означает, если дискриминант равен нулю?
Дискриминант, равный нулю, означает, что квадратное уравнение имеет кратный корень. Геометрически парабола y = ax² + bx + c касается оси x — она лишь один раз касается её в вершине и не пересекает. Например, полный квадрат x² − 4x + 4 = (x−2)² всегда имеет нулевой дискриминант: Δ = 36 − 36 = 0.
Может ли дискриминант быть отрицательным?
Да. Отрицательный дискриминант означает, что у Δ нет действительного квадратного корня, поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней. Вместо этого оно имеет два комплексно-сопряжённых корня вида p + qi и p − qi. Это происходит, когда парабола целиком расположена выше или ниже оси x и никогда её не пересекает.
Почему коэффициент a должен быть ненулевым?
Если a = 0, уравнение ax² + bx + c = 0 сводится к bx + c = 0, то есть становится линейным, а не квадратным. Формула квадратного уравнения и дискриминант для a = 0 не определены, потому что знаменатель 2a был бы равен нулю. Калькулятор требует a ≠ 0, чтобы анализировать именно квадратное уравнение.
Как дискриминант связан с графиком квадратной функции?
Точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью x точно соответствуют действительным корням уравнения. Если Δ > 0, парабола пересекает ось x в двух различных точках. Если Δ = 0, она касается оси x в одной точке (в вершине). Если Δ < 0, парабола вообще не касается оси x, что подтверждает, что все корни комплексные.