Калькулятор числа обусловленности матрицы

Число обусловленности обратимой матрицы A определяется как κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖, где ‖·‖ обозначает любую согласованную матричную норму. Оно показывает, насколько относительная ошибка в решении x линейной системы A·x = b может быть усилена относительной ошибкой в правой части b. Интуитивно матрица с малым числом обусловленности хорошо обусловлена: небольшие ошибки на входе дают небольшие ошибки на выходе. Матрица с большим числом обусловленности плохо обусловлена: даже микроскопическое округление в данных может привести к сильно неточным решениям. Этот калькулятор поддерживает матрицы 2 × 2 и 3 × 3 и три самых распространённых матричных нормы. 1-норма — это максимальная сумма модулей по столбцам, ‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ|. Бесконечная норма — это максимальная сумма модулей по строкам, ‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ|. Норма Фробениуса — это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов, ‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²), и является матричным аналогом евклидовой нормы вектора. Для матриц 2 × 2 обратная матрица вычисляется аналитически как A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]]. Для матриц 3 × 3 используется формула через алгебраические дополнения (присоединённая матрица). Числа обусловленности — ключевое понятие численной линейной алгебры. Когда вы решаете линейную систему на компьютере с помощью LU-разложения или метода Гаусса, относительная ошибка вычисленного решения сверху ограничена примерно κ(A) · ε, где ε — машинная точность (около 10⁻¹⁶ в IEEE-754 double precision). Поэтому число обусловленности 10⁶ означает, что только из-за округления можно потерять до шести значащих цифр. Как грубое правило, матрицы с κ < 100 считают хорошо обусловленными, с κ от 100 до 1000 — умеренно обусловленными, а всё, что выше 10³, — плохо обусловленным и требующим осторожности. Есть и важные оговорки. Число обусловленности зависит от выбранной нормы, поэтому значения, полученные в разных нормах, напрямую сравнивать нельзя, хотя обычно они отличаются лишь на небольшой постоянный множитель. Число обусловленности в 2-норме (спектральной норме), определяемое через сингулярные числа, теоретически наиболее естественно, но вычисляется дороже и здесь не предлагается. Вырожденная матрица имеет определитель ровно ноль, не имеет обратной матрицы и обладает бесконечным числом обусловленности; калькулятор явно обнаруживает этот случай. Используйте этот инструмент, когда нужно проверить, безопасно ли численно обращать небольшую матрицу, при обучении основам численного анализа или как быструю проверку перед решением системы в более крупной симуляции или ML-пайплайне.