Калькулятор закона Дарси для пористого потока
Рассчитайте расход жидкости, скорость Дарси и скорость фильтрации через пористые материалы по закону Дарси — это важно для гидрогеологии и разработки залежей.
Введите проницаемость, площадь поперечного сечения, перепад давления, вязкость, длину потока и пористость, чтобы рассчитать объёмный расход и скорости.
Калькулятор закона Дарси для пористого потока
Рассчитайте расход жидкости, скорость Дарси и скорость фильтрации через пористые материалы по закону Дарси — это важно для гидрогеологии и разработки залежей.
О калькуляторе закона Дарси
Закон Дарси — одно из самых фундаментальных уравнений гидродинамики, описывающее движение жидкостей через пористые среды. Впервые он был сформулирован Анри Дарси в 1856 году после экспериментов по фильтрации воды через песчаные слои в Дижоне, Франция, и устанавливает линейную связь между объёмным расходом и приложенным градиентом давления. Он записывается как Q = kA·ΔP / (μL), где Q — объёмный расход (m³/s), k — абсолютная проницаемость среды (m²), A — площадь поперечного сечения, перпендикулярного потоку (m²), ΔP — перепад давления, движущий поток (Pa), μ — динамическая вязкость жидкости (Pa·s), а L — длина пути потока (m).
Проницаемость — самый важный параметр в законе Дарси. Это свойство самой пористой среды, не зависящее от жидкости, и оно характеризует способность среды пропускать жидкость по структуре пор, связности пор и извилистости каналов. Диапазон проницаемости огромен: глины — 10⁻²⁰ до 10⁻¹⁸ m², мелкие пески — 10⁻¹⁶ до 10⁻¹⁴ m², крупные пески и гравий — 10⁻¹⁴ до 10⁻¹⁰ m², а сильно трещиноватые породы или пористый бетон — 10⁻¹⁰ m² и выше. В нефтяной отрасли проницаемость часто выражают в миллидарси (1 mD = 9.869×10⁻¹⁶ m²).
Из закона Дарси следуют две скорости. Скорость Дарси (или поверхностная скорость) равна v = Q/A и показывает кажущуюся скорость, как если бы жидкость занимала всё сечение, включая твёрдую матрицу. Скорость фильтрации (или поровая скорость) — это действительная средняя скорость жидкости через связанные поры: v_seepage = v/φ, где φ — пористость. Поскольку поток идёт только по порам, скорость фильтрации всегда выше скорости Дарси в 1/φ раз. При пористости 25% жидкость движется по порам в четыре раза быстрее, чем показывает скорость Дарси.
Закон Дарси лежит в основе гидрогеологии (моделирование потоков в водоносных горизонтах и переноса загрязнителей), нефтяной инженерии (моделирование залежей и прогноз добычи), почвоведения (проектирование орошения и дренажа), химической инженерии (реакторы с неподвижным слоем и мембранная фильтрация) и гражданского строительства (анализ фильтрации в плотинах и дренаж фундаментов). Он справедлив для ламинарного, стационарного, несжимаемого потока в однородной, изотропной пористой среде, насыщенной ньютоновской жидкостью. При больших скоростях, когда инерционные эффекты становятся существенными, уравнение Форчхаймера добавляет квадратичный по скорости член; на очень малых масштабах для скользящего течения (диффузия Кнудсена) может потребоваться поправка Клинкенберга.
Калькулятор использует модуль перепада давления, поэтому вводите абсолютное падение давления на образце независимо от знаковой конвенции. Результаты дают величину расхода и скоростей по направлению градиента давления.
Решённые примеры
Четыре типовых сценария течения в пористой среде, показывающие закон Дарси в разных инженерных задачах.
| Сценарий | Результат | Примечания |
|---|---|---|
| Песчаниковый резервуар: k=1×10⁻¹² m², A=0.01 m², ΔP=10⁶ Pa, μ=0.001 Pa·s, L=0.1 m, φ=0.25 | Q = 1×10⁻⁴ m³/s; v_darcy = 1×10⁻² m/s; v_seepage = 4×10⁻² m/s | Типичный поток в нефтяной залежи. Большой перепад давления вызывает значительный расход через этот образец породы. |
| Песчаная почва: k=1×10⁻¹⁰ m², A=0.1 m², ΔP=1000 Pa, μ=0.001 Pa·s, L=1.0 m, φ=0.35 | Q = 1×10⁻⁵ m³/s; v_darcy = 1×10⁻⁴ m/s; v_seepage ≈ 2.86×10⁻⁴ m/s | Поток подземных вод в песчаном водоносном горизонте. Низкий градиент давления даёт медленную, но устойчивую фильтрацию. |
| Промышленный керамический фильтр: k=1×10⁻¹⁴ m², A=0.001 m², ΔP=50,000 Pa, μ=0.001 Pa·s, L=0.05 m, φ=0.15 | Q = 1×10⁻⁸ m³/s; v_darcy = 1×10⁻⁵ m/s; v_seepage ≈ 6.67×10⁻⁵ m/s | Очень плотный фильтрующий материал требует высокого давления, чтобы получить измеримый расход. |
Как пользоваться калькулятором закона Дарси
- Введите абсолютную проницаемость k в m². Используйте опубликованные таблицы для вашего типа среды или лабораторные значения. Перевод из миллидарси: 1 mD = 9.869×10⁻¹⁶ m².
- Введите площадь поперечного сечения A в m², перпендикулярную потоку. Для цилиндрического керна A = π·r²; для прямоугольной пластины A = ширина × высота.
- Введите перепад давления ΔP в паскалях — падение давления от входа к выходу, которое движет поток. Вводите положительное значение.
- Введите динамическую вязкость μ жидкости при рабочей температуре в Pa·s. У воды при 20°C вязкость равна 0.001 Pa·s; у масел она выше и снижается с ростом температуры.
- Введите длину потока L в метрах и пористость φ в виде десятичной дроби от 0 до 1 (например, 0.30 для 30% пористости). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть расход, скорость Дарси и скорость фильтрации.
Часто задаваемые вопросы
Что такое проницаемость и как её найти?
Проницаемость (k) — это внутреннее свойство пористой среды, показывающее, насколько легко через неё может проходить жидкость. Она зависит только от структуры пор, а не от жидкости. Её можно определить лабораторными испытаниями на кернах, по опубликованным таблицам для материала или, если известны расход и перепад давления в заданной геометрии, обратным расчётом по закону Дарси.
В чём разница между скоростью Дарси и скоростью фильтрации?
Скорость Дарси (q = Q/A) — это объёмный расход на единицу общей площади сечения; она рассматривает пористую среду как сплошную трубку. Скорость фильтрации — это реальная средняя скорость жидкости через связанные поры: v_seepage = q/φ. Она всегда выше скорости Дарси, потому что поток несёт только пустотная доля (пористость).
Когда закон Дарси неприменим?
Закон Дарси нарушается при высоких скоростях потока (высокое число Рейнольдса в порах), когда инерционные силы становятся существенными — обычно при Re > 1–10 по размеру пор. Для таких условий уравнение Форчхаймера добавляет квадратичный член сопротивления. Оно также не подходит для газового потока при очень низких давлениях (скольжение Клинкенберга) и в сильно неоднородных или трещиноватых средах, где каналы обходят большую часть матрицы.
Как перевести проницаемость из миллидарси в m²?
1 дарси = 9.869233×10⁻¹³ m², значит 1 миллидарси (mD) = 9.869233×10⁻¹⁶ m². Умножьте значение в mD на 9.869×10⁻¹⁶, чтобы получить m². Многие нефтяные залежи имеют проницаемость 1–1000 mD, что соответствует 10⁻¹⁵–10⁻¹² m².
Как температура влияет на расчёт?
Температура в основном влияет на вязкость жидкости. У воды вязкость падает с 0.00179 Pa·s при 0°C до 0.000283 Pa·s при 100°C — почти в шесть раз. Более высокая температура означает меньшую вязкость и, следовательно, больший расход при том же градиенте давления. Для точных результатов всегда используйте вязкость при фактической рабочей температуре.
Что такое гидравлическая проводимость и как она связана с проницаемостью?
Гидравлическая проводимость K (m/s) объединяет проницаемость и свойства жидкости: K = k·ρ·g/μ, где ρ — плотность жидкости, а g — ускорение свободного падения. Её часто используют в гидрогеологии, где жидкость — это вода при известной температуре. Проницаемость k (m²) — это чисто физическое свойство среды; гидравлическая проводимость K уже учитывает жидкость. Этот калькулятор использует проницаемость, чтобы подходить для любых жидкостей.