Калькулятор момента импульса – материальная точка и твёрдое тело
Вычисляйте момент импульса L по L = m × v × r для материальной точки или по L = I × ω для твёрдого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси.
Выберите тип объекта, введите нужные значения и мгновенно вычислите момент импульса в kg·m²/s.
Калькулятор момента импульса – материальная точка и твёрдое тело
Вычисляйте момент импульса L по L = m × v × r для материальной точки или по L = I × ω для твёрдого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси.
О калькуляторе момента импульса
Момент импульса — это фундаментальная сохраняющаяся величина в физике, описывающая вращательную инерцию системы. Так же как линейный импульс p = mv характеризует инерцию тела при прямолинейном движении, момент импульса L показывает стремление вращающегося или орбитально движущегося объекта сохранять своё вращение. Единица СИ — kg·m²/s, что эквивалентно J·s (джоуль-секунда).
Для материальной точки, движущейся по окружности, момент импульса равен L = m × v × r, где m — масса в килограммах, v — касательная скорость в метрах в секунду, а r — перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии движения (плечо) в метрах. Эта формула применима к планетам, обращающимся вокруг Солнца, электронам на атомных орбитах (в классическом приближении) и любым малым объектам, движущимся по кривой траектории.
Для твёрдого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, момент импульса равен L = I × ω, где I — момент инерции в kg·m², а ω — угловая скорость в rad/s. Это прямой вращательный аналог линейного импульса, где I играет роль массы, а ω — скорости. Момент инерции зависит и от массы, и от её распределения относительно оси вращения.
Одно из важнейших свойств момента импульса — его сохранение: при отсутствии внешних моментов сил полный момент импульса замкнутой системы остаётся постоянным. Этот принцип объясняет, почему фигуристка ускоряет вращение, прижимая руки к телу (уменьшение I заставляет ω расти), почему гироскопы сохраняют ориентацию, почему Земля продолжает вращаться и почему спиральные галактики сохраняют свою структуру миллиарды лет.
Момент импульса играет также центральную роль в квантовой механике, где он квантуется в единицах ħ (редуцированной постоянной Планка). Орбитальный и спиновый моменты импульса электронов определяют строение атомов, химическую связь и правила отбора для спектроскопических переходов.
Этот калькулятор охватывает два распространённых случая: материальную точку с массой, скоростью и орбитальным радиусом (полезно для орбитальной механики, движения по окружности и задач с плечом силы), а также твёрдое тело с моментом инерции и угловой скоростью (полезно для маховиков, вращающихся дисков, роторов и любых протяжённых вращающихся объектов).
Примеры момента импульса
Четыре примера расчёта — от планетных орбит до лабораторных роторов.
| Ввод | Результат | Примечания |
|---|---|---|
| Планета на орбите: m = 1×10²⁴ kg, v = 2.98×10⁴ m/s, r = 1.5×10¹¹ m | L ≈ 4.47×10³⁹ kg·m²/s | Модель материальной точки. L = 1e24 × 2.98e4 × 1.5e11. |
| Шарик на нити: m = 0.5 kg, v = 3 m/s, r = 1.2 m | L = 1.8 kg·m²/s | Материальная точка. L = 0.5 × 3 × 1.2 = 1.8 kg·m²/s. |
| Маховик: I = 2.5 kg·m², ω = 10 rad/s | L = 25 kg·m²/s | Твёрдое тело. L = I × ω = 2.5 × 10 = 25 kg·m²/s. |
| Земля: I = 8.04×10³⁷ kg·m², ω = 7.27×10⁻⁵ rad/s | L ≈ 5.845×10³³ kg·m²/s | Модель твёрдого тела для момента импульса вращения Земли. |
Как пользоваться калькулятором момента импульса
- Выберите «Материальная точка», если у вас есть масса, движущаяся по окружности с заданным радиусом, или «Твёрдое тело», если у вас есть вращающийся объект с известным моментом инерции.
- Для материальной точки введите массу m (kg), касательную скорость v (m/s) и перпендикулярный радиус r (m). Результат: L = m × v × r.
- Для твёрдого тела введите момент инерции I (kg·m²) и угловую скорость ω (rad/s). Результат: L = I × ω.
- Нажмите «Вычислить», чтобы показать момент импульса L в kg·m²/s. Нажмите «Сбросить», чтобы очистить все поля.
FAQ по моменту импульса
Что такое момент импульса и почему он важен?
Момент импульса L — это вращательный аналог линейного импульса. Он показывает, насколько объект вращается и в каком направлении. Он важен потому, что сохраняется в системах без внешнего момента сил; этот закон объясняет гироскопы, движение планет и то, почему фигуристы ускоряются, когда прижимают руки.
В чём разница между двумя методами расчёта?
Формула материальной точки L = mvr применяется к объектам, которые рассматриваются как частицы, движущиеся по кривой траектории: планеты на орбите, колеблющиеся маятники или шарики на нити. Формула твёрдого тела L = Iω применяется к протяжённым объектам, вращающимся вокруг фиксированной оси: маховикам, вращающимся дискам, турбинам и планетам (как самовращающимся телам).
Как найти момент инерции I?
Типичные значения: сплошной диск I = ½mr²; сплошной шар I = ⅖mr²; тонкое кольцо I = mr²; тонкий стержень относительно центра I = (1/12)mL². Для сложных форм используйте теорему параллельных осей или найдите формулу для вашей геометрии. I измеряется в kg·m².
В каких единицах измеряется момент импульса?
Момент импульса измеряется в kg·m²/s. Это эквивалентно N·m·s (ньютон-метр-секунда) и J·s (джоуль-секунда). В квантовой механике момент импульса квантуется в целых или полуцелых кратных ħ ≈ 1.055×10⁻³⁴ J·s.
Как на практике сохраняется момент импульса?
Когда на систему не действует внешний момент сил, её полный момент импульса постоянен. Фигуристка, прижимая руки (уменьшая I), должна увеличить ω, чтобы сохранить L = Iω. Планета движется быстрее, когда находится ближе к Солнцу (r меньше), поэтому v должна увеличиться, чтобы сохранить mvr.
Может ли момент импульса быть равен нулю?
Да. У неподвижного объекта момент импульса равен нулю. Объект, движущийся прямо к опорной точке или от неё, тоже имеет нулевой момент импульса, потому что перпендикулярная составляющая скорости равна нулю (r × v_perp = 0). В квантовой механике электроны в s-орбиталях также имеют нулевой орбитальный момент импульса.