Калькулятор хорды: хорда и дуга
Вычисляйте длину хорды, длину дуги, площадь сектора и площадь сегмента для любого круга по радиусу и центральному углу.
Введите радиус и центральный угол (0–360°), чтобы мгновенно вычислить длину хорды, длину дуги, площадь сектора и площадь сегмента по точным тригонометрическим формулам.
Калькулятор хорды: хорда и дуга
Вычисляйте длину хорды, длину дуги, площадь сектора и площадь сегмента для любого круга по радиусу и центральному углу.
О калькуляторе хорды
Калькулятор хорды — это точный геометрический инструмент, предназначенный для мгновенного решения задач, связанных с окружностями. По радиусу окружности и центральному углу он вычисляет четыре взаимосвязанные величины: длину хорды, длину дуги, площадь сектора и площадь сегмента. Эти величины широко используются в инженерии, архитектуре, производстве и математике, поэтому надёжный калькулятор полезен и профессионалам, и студентам.
Хорда — это отрезок прямой, концы которого лежат на окружности. Длина хорды полностью зависит от двух вещей: радиуса окружности и центрального угла, на который опирается эта хорда. Основная формула: c = 2r × sin(θ/2), где r — радиус, а θ — центральный угол в градусах. Поскольку синус — нелинейная функция, равные приращения угла не дают равных приращений длины хорды — это часто удивляет новых пользователей.
Длина дуги измеряет криволинейное расстояние вдоль окружности между теми же двумя точками, которые задают хорду. Хорда идёт по прямой, а дуга следует по границе окружности. Формула: s = r × θ_rad, где θ_rad — центральный угол, переведённый в радианы (θ × π/180). Для полного круга (360°) это сводится к привычной формуле длины окружности C = 2πr.
Площадь сектора — это площадь части круга, ограниченной двумя радиусами и дугой. Она вычисляется как A_sector = (θ/360) × πr² и показывает долю всей площади круга, занимаемую сектором. При угле 90° сектор составляет ровно одну четверть круга.
Площадь сегмента — это область между хордой и дугой, то есть участок в форме серпа. Чтобы найти её, из площади сектора вычитают площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: A_segment = A_sector − (½)r²sin(θ). При θ = 180° треугольник вырождается в нулевую площадь, и сегмент становится полукругом.
Инженеры используют расчёты хорды и дуги при проектировании арочных мостов, переходов на кривых дорогах, изгибов трубопроводов и профилей зубьев шестерён. Архитекторы применяют их для круглых окон, купольных потолков и изогнутых фасадов. Станочники используют эти формулы для круглых приспособительных плит, профилей кулачков и точных резательных операций. Студенты встречают эти зависимости в тригонометрии, математическом анализе и аналитической геометрии.
Все входные данные проверяются на условие r > 0 и 0 < θ ≤ 360°. Результаты отображаются с точностью до четырёх знаков после запятой, что достаточно для большинства инженерных и математических задач. Для углов, очень близких к 0° или 360°, вычисления с плавающей точкой остаются точными, поскольку sin() численно устойчив возле этих значений.
Примеры длины хорды
Показательные вычисления, демонстрирующие, как меняются длина хорды, длина дуги и площади в зависимости от радиуса и центрального угла.
| Радиус / Угол | Хорда / Дуга | Примечания |
|---|---|---|
| r = 10, θ = 60° | Хорда = 10.0000 | Дуга = 10.4720 | Хорда равностороннего треугольника — хорда равна радиусу. |
| r = 5, θ = 90° | Хорда = 7.0711 | Дуга = 7.8540 | Четверть круга; хорда = r√2 ≈ 7.0711. |
| r = 8, θ = 180° | Хорда = 16.0000 | Дуга = 25.1327 | Полукруг; хорда равна диаметру. |
| r = 12, θ = 30° | Хорда = 6.2117 | Дуга = 6.2832 | Малый угол: хорда ≈ дуга (обе ≈ 6.28). |
Как пользоваться калькулятором хорды
- Введите радиус окружности в поле «Радиус» — подходит любое положительное число.
- Введите центральный угол в градусах (от 0° до 360°) в поле «Центральный угол».
- Нажмите «Вычислить», чтобы мгновенно увидеть длину хорды, длину дуги, площадь сектора и площадь сегмента.
- Просмотрите строку формул под результатами, чтобы понять, как был получен каждый показатель.
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить поля и выполнить расчёт для другой окружности или угла.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе хорды
В чём разница между хордой и дугой?
Хорда — это прямая линия, соединяющая две точки окружности, а дуга — это криволинейная часть окружности между теми же двумя точками. При одном и том же центральном угле длина дуги всегда больше длины хорды, кроме вырожденного предела при стремлении угла к нулю, когда значения сходятся.
Почему хорда равна радиусу при центральном угле 60°?
При угле 60° формула хорды даёт c = 2r × sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Два радиуса и хорда образуют идеальный равносторонний треугольник, поэтому все три стороны равны. Это классический результат евклидовой геометрии и удобная проверка точности калькулятора.
Какова максимальная возможная длина хорды?
Максимальная длина хорды — это диаметр, который получается при центральном угле ровно 180°. В этом случае хорда проходит через центр окружности, и формула даёт c = 2r × sin(90°) = 2r × 1 = 2r, подтверждая, что хорда равна диаметру.
Чем площадь сегмента отличается от площади сектора?
Площадь сектора — это участок в форме кусочка пирога, ограниченный двумя радиусами и дугой. Площадь сегмента — это меньшая область, ограниченная хордой и дугой; то есть сектор минус треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. При угле 180° треугольник вырождается в нулевую площадь, и сегмент равен полукругу.
Можно ли использовать этот калькулятор для инженерных допусков?
Да. Калькулятор выводит четыре знака после запятой, что соответствует стандартной точности инженерного черчения. Для более жёстких допусков проверьте результат в инструменте с полной точностью. Используемые формулы — точные тригонометрические соотношения, поэтому единственный источник погрешности — это представление π и значений синуса в формате с плавающей точкой.
Что происходит при центральном угле 360°?
При точно 360° длина хорды равна нулю (две конечные точки совпадают), длина дуги равна полной длине окружности 2πr, а площадь сектора и площадь сегмента равны всей площади круга πr². Треугольник вырождается в нулевую площадь, поэтому сегмент (область между хордой и дугой) покрывает весь круг. Калькулятор принимает 360° как допустимый ввод и возвращает эти математически корректные значения.