와이블 분포 계산기 - PDF, CDF 및 신뢰성

와이블 분포는 1951년에 재료 강도와 피로를 모델링하는 데 사용한 스웨덴의 공학자이자 수학자 Waloddi Weibull의 이름을 딴 연속 확률 분포입니다. 오늘날에는 형상 매개변수 k 덕분에 증가, 일정, 감소하는 고장률을 하나의 유연한 분포군으로 표현할 수 있어 신뢰성 공학, 생존 분석, 풍속 모델링, 극값 이론에서 가장 중요한 분포 중 하나입니다. 이 분포는 두 개의 매개변수로 정의됩니다. 형상 매개변수 k(때로는 β로 표기)는 고장률이 시간에 따라 증가하는지, 감소하는지, 아니면 일정한지를 결정합니다. k > 1이면 고장률이 시간과 함께 증가하며, 사용에 따라 열화되는 기계 부품의 마모 고장을 모델링합니다. k = 1이면 와이블 분포는 고장률이 일정한 지수분포로 정확히 축소되어, 안정적인 배경 비율로 고장이 발생하는 전자 부품 같은 순수한 우발 고장을 나타냅니다. k < 1이면 고장률이 시간이 지날수록 감소하며, 결함이 있는 제품이 초기에 고장 나고 생존한 제품이 더 신뢰성이 높아지는 영아 사망형 고장을 모델링합니다. 척도 매개변수 λ(때로는 η로 표기)는 특성 수명으로, x = λ에서 CDF는 k와 무관하게 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%가 됩니다. 확률 밀도 함수(PDF) f(x)는 정확히 시각 x에 고장이 발생할 상대적 가능성을 보여줍니다. 누적 분포 함수(CDF) F(x)는 시각 x까지 이미 고장 났을 확률로, 비신뢰성이라고도 합니다. 신뢰성 함수 R(x) = 1 − F(x)는 시각 x 이후에도 생존할 확률로, 보증과 유지보수 계획의 핵심 지표입니다. 고장률 h(x) = f(x) / R(x)는 해당 시점까지 생존했다는 조건에서 시각 x의 순간 고장률이며, 공학에서는 사망력 또는 위험 함수라고도 부릅니다. 와이블 분포의 평균은 λ · Γ(1 + 1/k)이며, 여기서 Γ는 감마 함수입니다. 중앙값은 λ · (ln 2)^(1/k)입니다. 최빈값(가장 가능성이 높은 고장 시점)은 k > 1일 때 λ · ((k−1)/k)^(1/k)이고, k ≤ 1일 때는 0입니다. 분산은 λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]입니다. 와이블 분석은 차량 정비 일정, 항공기 부품 인증, 풍력 자원 평가, 지진 재발 주기 추정, 암 생존 연구에 쓰입니다. 이 계산기는 감마 함수에 Lanczos 근사를 사용해 넓은 매개변수 범위에서 높은 수치 정확도를 유지하면서 모든 표준 와이블 계산을 한 번에 수행합니다.