레이리 분포 계산기 - PDF, CDF 및 통계

레이리 분포는 음이 아닌 확률 변수에 대한 연속 확률 분포로, 원래 Lord Rayleigh가 음파 진폭을 연구하는 과정에서 유도했습니다. 이 분포는 하나의 매개변수 σ(스케일 매개변수)만으로 정의되며, σ는 분포의 최빈값——가장 가능성이 높은 값——인 동시에 전체 분포의 퍼짐 정도를 결정합니다. 확률 밀도 함수(PDF)는 x ≥ 0에서 f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²))입니다. 곡선은 x = 0에서 0으로 시작해 x = σ에서 최고점을 찍고, 이후 0을 향해 점차 감소합니다. 누적 분포 함수(CDF)는 F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²))로, 임의의 관측값이 x 이하일 확률을 뜻합니다. 보완 CDF(CCDF = 1 − CDF)는 관측값이 x를 엄격히 초과할 확률을 나타내며, 신뢰성 공학과 통신 공학에서 중요한 생존 함수로 사용됩니다. 레이리 분포는 모양 매개변수 k = 2인 2매개변수 Weibull 분포의 특수한 경우입니다. 또한 정규 분포와도 깊은 관련이 있습니다. 서로 독립인 두 확률 변수 X와 Y가 각각 평균 0, 분산 σ²인 정규 분포를 따른다면, 벡터의 크기 R = √(X² + Y²)는 스케일 매개변수 σ를 갖는 레이리 분포를 따릅니다. 이 기하학적 해석 덕분에 2차원 랜덤 벡터의 진폭을 나타내는 자연스러운 모델이 됩니다. 무선 통신에서는 레이리 페이딩 모델이 산란체가 많고 지배적인 가시 경로가 없는 환경에서 전파가 어떻게 전달되는지를 설명합니다. 송신 신호가 수신기에 도달하기 전에 건물, 차량, 지형에 반사되면 수신 신호의 포락선은 레이리 분포를 따릅니다. 엔지니어는 이 모델로 링크 버짓을 계산하고, 중단 확률을 구하며, 오류 정정 코드를 설계합니다. σ는 신호 측정값으로 추정되고 시스템 수준 시뮬레이션에 직접 사용됩니다. 해양학과 기상학에서는 이 분포를 특정 지점의 유의파고와 최대 풍속을 모델링하는 데 사용합니다. σ를 과거 데이터에 맞추면, 예를 들어 50년 만의 폭풍 동안 파고가 안전 기준을 넘을 확률 같은 극단 사건의 확률을 추정할 수 있습니다. 비슷한 응용은 해양 플랫폼 설계, 해안 홍수 모델링, 풍력 터빈 입지 선정에서도 나타납니다. 신뢰성 공학에서 레이리 분포는 여러 독립적인 스트레스 요인으로 누적 손상을 받는 부품의 수명 분포로 쓰입니다. 지수 분포와 달리 레이리의 위험률은 시간에 따라 선형으로 증가합니다(h(t) = t/σ²). 즉 오래된 부품일수록 고장률이 높아지며, 이는 금속 피로와 부식 같은 마모 메커니즘에 더 현실적입니다. 주요 통계량은 다음과 같습니다: 평균 = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ; 중앙값 = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ; 최빈값 = σ; 분산 = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0.4292σ². 평균은 항상 최빈값보다 크며, 분포의 오른쪽 꼬리가 길다는 점을 보여줍니다. 분산은 σ의 제곱에 따라 증가하므로 σ를 두 배로 늘리면 퍼짐은 네 배가 됩니다.