일양분포 계산기 - PDF, CDF, 평균

연속 일양분포는 직사각형 분포라고도 하며, 구간 [a, b] 안의 모든 값이 같은 확률로 나타나는 상황을 설명합니다. 가장 단순한 연속 확률분포이자, 범위 안의 모든 결과가 동일하게 가능하다는 개념을 보여 주는 대표 모델입니다. 예를 들어 예정된 시간창 안에서 버스가 도착하는 정확한 시각이나, 무작위 시점에 멈춘 룰렛의 최종 위치가 이에 해당합니다. 일양분포의 확률밀도함수(PDF)는 구간 전체에서 일정합니다. 즉 a ≤ x ≤ b일 때 f(x) = 1/(b − a)이고, 그 밖의 값은 0입니다. PDF 아래의 전체 면적은 반드시 1이어야 하며, 모양이 평평한 직사각형이기 때문에 높이는 너비의 역수가 됩니다. 그래서 같은 길이의 부분 구간은 [a, b] 안에서 어디에 있든 같은 확률을 가집니다. 누적분포함수(CDF)는 확률변수가 어떤 값 x 이하에 들어갈 확률을 뜻합니다. 일양분포에서는 a ≤ x ≤ b일 때 F(x) = (x − a)/(b − a)입니다. x = a에서 0으로 시작해 x = b에서 1까지 선형으로 증가하며, x가 구간을 따라 이동할수록 확률이 꾸준히 누적됨을 보여 줍니다. 구간 [x1, x2]에 들어갈 확률은 P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)로 계산합니다. 즉 부분 구간의 너비를 전체 너비로 나눈 값입니다. 일양분포의 평균(기댓값)은 구간의 중간점입니다. E[X] = (a + b)/2입니다. 모든 값이 같은 확률이라면 평균이 정중앙에 오는 것은 자연스럽습니다. 분산은 평균에서의 제곱 편차의 평균으로, (b − a)² / 12에 해당합니다. 구간이 넓을수록 분산이 커지고, 결과가 어디에 놓일지에 대한 불확실성도 커집니다. 일양분포는 시뮬레이션, 몬테카를로 방법, 난수 생성의 출발점이나 기준으로 널리 사용됩니다. 의사 난수 생성기는 보통 [0, 1] 구간의 일양 난수를 먼저 만들고, 역 CDF 방법으로 다른 분포로 변환합니다. 베이지안 통계에서는 일양 사전분포가 알려진 범위 내의 파라미터에 대해 완전히 무지한 상태를 표현합니다. 신뢰성 공학과 일정 계획에서는 범위만 알려졌고 정확한 시각은 알 수 없는 도착 시간이나 고장 시간을 모델링할 때 사용합니다. 일양분포를 이해하면 더 복잡한 연속분포를 파악하는 데도 도움이 됩니다. 단순한 구조 덕분에 정규분포, 지수분포, 베타분포를 배우기 전에 PDF, CDF, 기댓값, 분산의 개념을 익히기에 좋습니다.