균등분포 계산기 - PDF, CDF, 평균

연속 균등분포는 직사각형 분포라고도 불리며, 구간 [a, b] 안의 모든 값이 동일한 확률로 나타나는 상황을 설명합니다. 이는 가장 단순한 연속 확률분포이며, 범위 안의 모든 결과가 똑같이 가능할 때의 대표적인 모델입니다. 예를 들어, 정해진 시간 창 안에서 버스가 도착하는 정확한 순간이나, 무작위 시간에 멈춘 회전판의 착지 위치를 생각할 수 있습니다. 균등분포의 확률밀도함수(PDF)는 구간 전체에서 일정합니다. a ≤ x ≤ b일 때 f(x) = 1/(b − a)이고, 그 밖의 구간에서는 0입니다. PDF 아래의 전체 면적은 1이어야 하며, 그래프가 평평한 직사각형이므로 높이는 너비의 역수가 됩니다. 그래서 PDF는 이해하기 쉽습니다. 같은 너비의 부분 구간이라면 [a, b]의 어디에 있든 확률은 같습니다. 누적분포함수(CDF)는 무작위 관측값이 특정 값 x 이하가 될 확률을 보여 줍니다. 균등분포에서는 a ≤ x ≤ b일 때 F(x) = (x − a)/(b − a)입니다. x가 a에서 b로 이동함에 따라 0에서 1까지 선형으로 증가하며, 구간을 따라 확률이 꾸준히 누적되는 모습을 나타냅니다. 값이 구간 [x1, x2]에 들어갈 확률은 P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)로 구할 수 있으며, 이는 부분 구간의 너비를 전체 너비로 나눈 값입니다. 균등분포의 평균(기댓값)은 구간의 중점입니다. E[X] = (a + b)/2가 됩니다. 모든 값이 같은 확률이라면 평균이 정확히 가운데에 온다는 점에서 직관적입니다. 분산은 평균으로부터의 제곱 편차의 평균이며, (b − a)² / 12와 같습니다. 구간이 넓을수록 분산도 커지며, 결과가 어디에 나올지에 대한 불확실성이 더 크다는 뜻입니다. 균등분포는 시뮬레이션, 몬테카를로 방법, 난수 생성의 출발점이나 기준으로 널리 사용됩니다. 의사난수 생성기는 보통 [0, 1]의 균등 난수를 만든 뒤 역 CDF 방법으로 다른 분포로 변환합니다. 베이지안 통계에서는 균등 사전분포가 알려진 범위 안에서 매개변수에 대해 전혀 모른다는 상태를 나타냅니다. 신뢰성 공학과 일정 관리에서는 범위만 알고 정확한 시점은 모를 때 도착 시간이나 고장 시간을 모델링하는 데 쓰입니다. 균등분포를 이해하면 더 복잡한 연속분포를 익히는 데도 도움이 됩니다. 단순한 구조 덕분에 정규분포, 지수분포, 베타분포를 배우기 전에 PDF, CDF, 기댓값, 분산의 개념을 익히기에 좋습니다.