기댓값 계산기
이산 확률분포의 수학적 기댓값을 계산합니다.
결과값과 각 확률을 입력하면 E[X], 분산, 표준편차를 계산할 수 있습니다.
기댓값 계산기
이산 확률분포의 수학적 기댓값을 계산합니다.
결과값확률
기댓값 계산기 소개
기댓값은 수학적 기대값 또는 확률분포의 평균이라고도 하며, 확률론과 통계학에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 이는 어떤 무작위 실험을 같은 조건에서 여러 번 반복했을 때 장기적으로 나타나는 평균 결과를 뜻합니다. 이산 확률변수 X의 결과가 x₁, x₂, …, xₙ이고 대응하는 확률이 p₁, p₂, …, pₙ일 때 기댓값은 E[X] = Σ xᵢ pᵢ로 정의됩니다.
기댓값은 확률변수가 실제로 가질 수 있는 값일 필요는 없습니다. 가능한 모든 결과의 가중평균이기 때문입니다. 예를 들어 공정한 6면 주사위의 기댓값은 3.5지만, 주사위 면에 3.5는 없습니다. 이러한 장기 평균의 해석은 대수의 법칙으로 정식화되며, 시행 횟수가 많아질수록 표본평균은 기댓값에 수렴합니다.
이 계산기는 분산 Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])²도 계산합니다. 이는 분포가 평균 주변에 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다. 표준편차 σ = √Var(X)는 분산의 제곱근이며 X와 같은 단위를 가지므로 실제 해석이 더 쉽습니다.
기댓값은 과학, 경제, 금융, 공학 등에서 폭넓게 사용됩니다. 의사결정 이론에서는 기대효용 극대화의 기반이 되며, 합리적인 행위자는 기대 보상이 가장 높은 선택을 한다고 봅니다. 보험에서는 계리사가 보험료를 정할 때 기댓값을 사용합니다. 보험료는 기대 지급액에 운영비와 이윤을 더한 수준이어야 합니다. 게임 디자인에서는 게임이 공정한지 판단하는 기준이 됩니다. 포트폴리오 이론에서는 투자 포트폴리오의 기대수익이 각 자산 기대수익의 가중평균입니다.
이 계산기를 사용할 때는 모든 확률이 음수가 아니어야 하며, 합계가 작은 오차 범위 내에서 정확히 1이어야 합니다. 확률의 합이 1이 아니면 분포가 올바르게 정의되지 않은 것이므로 기댓값 계산도 의미가 없습니다. 흔한 실수는 25%를 0.25가 아니라 25로 입력하거나, 가능한 모든 결과를 빠뜨리는 것입니다.
예시
이 예시는 기댓값이 다양한 실제 상황에서 어떻게 적용되는지 보여줍니다.
| 결과 및 확률 | E[X] | 참고 |
|---|---|---|
| 주사위: 1–6 각 값, 각 확률은 1/6 ≈ 0.1667 | E[X] = 3.5 | 공정한 6면 주사위; 교과서의 대표 예시 |
| 투자: +$1000(30%), +$500(40%), −$200(20%), −$500(10%) | E[X] = $410 | 하방 위험이 있어도 기대수익은 양수 |
| 보험: $0 지급(95%), $5,000(4%), $25,000(1%) | E[X] = $450 | 보험 계약 1건당 연평균 지급액; 보험료 산정에 사용 |
| 품질 관리: $0 비용(85%), $50(10%), $150(4%), $500(1%) | E[X] = $15 | 제조에서 단위당 예상 불량 비용 |
사용 방법
- 각 가능한 결과를 결과값 필드에 입력하세요. 보상이나 결과를 나타내는 실수라면 양수, 음수, 0 모두 가능합니다.
- 대응하는 확률을 확률 필드에 입력하세요. 0과 1 사이의 소수여야 합니다(예: 25%는 0.25).
- 모든 가능한 결과를 입력할 때까지 결과 추가 버튼으로 행을 더 추가하세요.
- 기댓값 계산을 클릭하기 전에 확률의 합이 1인지 확인하세요. 일치하지 않으면 계산기가 오류를 표시합니다.
- 기댓값 계산을 클릭하면 E[X], 분산, 표준편차, 확률 합을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
기댓값이란 무엇인가요?
기댓값 E[X]는 확률변수의 모든 가능한 결과를 확률로 가중한 평균입니다. 실험을 여러 번 반복했을 때 관측되는 장기 평균을 뜻합니다. 형식적으로는 E[X] = Σ xᵢ × pᵢ이며, xᵢ는 각 가능한 결과, pᵢ는 그 확률입니다.
확률의 합은 반드시 1이어야 하나요?
네. 유효한 확률분포라면 확률의 합은 정확히 1이거나 반올림 오차 범위 내에서 1에 매우 가까워야 합니다. 그렇지 않으면 분포가 올바르게 정의되지 않은 것이므로 기댓값도 의미가 없습니다. 이 계산기는 합계를 검사하며 1에서 1% 이상 벗어나면 오류를 표시합니다.
기댓값과 평균의 차이는 무엇인가요?
두 용어는 밀접하지만 쓰이는 맥락이 다릅니다. ‘평균’(또는 표본평균)은 관측된 데이터 값의 산술평균입니다. ‘기댓값’은 확률분포의 이론적 평균으로, 장기적으로 기대되는 평균을 뜻합니다. 표본 수가 늘수록 표본평균은 기댓값에 수렴합니다(대수의 법칙).
기댓값이 음수가 될 수도 있나요?
네, 기댓값은 음수를 포함한 어떤 실수도 될 수 있습니다. 음의 기댓값은 평균적으로 불리한 과정을 의미합니다. 예를 들어 대부분의 카지노 게임은 플레이어에게 음의 기댓값을 가집니다. 양의 기댓값은 평균적으로 유리하다는 뜻이며, 정식 보험과 투자 상품이 제공자 기준으로 양의 기댓값을 갖도록 가격이 정해지는 이유이기도 합니다.
분산은 분포에 대해 무엇을 알려주나요?
분산 Var(X) = E[(X − E[X])²]는 평균으로부터의 평균 제곱 편차를 나타냅니다. 분산이 높으면 결과가 넓게 퍼져 있고, 꼬리가 두껍거나 극단값이 있음을 의미합니다. 분산이 낮으면 결과가 평균 주변에 밀집합니다. 표준편차 σ = √Var(X)는 X와 같은 단위를 가지므로 더 직관적으로 해석할 수 있어 자주 선호됩니다.
기댓값은 의사결정에 어떻게 쓰이나요?
의사결정 이론에서 기댓값 기준은 합리적인 행위자가 기대 보상이 가장 높은 행동을 선택해야 한다고 봅니다. 이 원리는 보험료 산정, 투자 분석, 게임 이론, 임상시험 설계의 기반입니다. 다만 기댓값만으로는 위험회피를 설명하지 못합니다. 예를 들어 어떤 사람은 120달러를 50% 확률로 얻는 선택보다, 확실한 50달러를 더 선호할 수 있습니다. 그래서 기대효용 이론이 기본 틀을 확장합니다.