영공간 계산기 - 행렬의 핵과 기저벡터
가우스-조던 소거를 사용해 4×4 이하의 어떤 행렬이든 영공간(핵)을 구하고, 기저벡터, 랭크, 널리티를 계산합니다.
행렬의 크기를 선택하고 값을 입력한 뒤 계산하기를 누르면 영공간의 모든 기저벡터와 행렬의 랭크를 확인할 수 있습니다.
영공간 계산기 - 행렬의 핵과 기저벡터
가우스-조던 소거를 사용해 4×4 이하의 어떤 행렬이든 영공간(핵)을 구하고, 기저벡터, 랭크, 널리티를 계산합니다.
영공간 계산기 소개
행렬 A의 영공간(또는 A의 핵)은 동차방정식 Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합입니다. 기하적으로는 선형변환 A가 영벡터로 보내는 모든 벡터의 집합입니다. 영공간은 항상 정의역의 부분공간이며, 그 차원을 행렬의 널리티라고 합니다.
랭크-널리티 정리는 선형대수의 핵심 결과 중 하나입니다. m × n 행렬 A에 대해 rank(A) + nullity(A) = n입니다. 즉 랭크와 널리티의 합은 항상 열의 개수와 같습니다. 완전 열랭크 행렬(rank = n)은 자명한 영공간, 즉 영벡터만 포함하는 영공간을 가집니다. rank가 n보다 작으면 영공간의 차원은 n − rank가 되어 양수가 되며, Ax = 0을 만족하는 벡터는 무한히 많습니다.
영공간을 구하기 위해 이 계산기는 가우스-조던 소거로 A를 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환합니다. RREF에서는 각 0이 아닌 행에 선도 1(pivot)이 있고, 그 열의 나머지 원소는 모두 0입니다. pivot이 있는 열은 기본변수, 나머지 열은 자유변수에 해당합니다. 각 자유변수에 대해 그것을 1로 두고 다른 자유변수는 0으로 둔 뒤 기본변수를 역대입하면 영공간의 기저벡터 하나를 얻을 수 있습니다.
영공간은 응용수학과 공학 전반에서 중요한 역할을 합니다. 연립일차방정식에서는 해의 비유일성을 알려줍니다. Ax = b의 해 x₀가 하나 있다면, 일반해는 x₀에 영공간의 임의의 원소를 더한 형태입니다. 제어이론에서는 제어가능성 행렬의 영공간이 제어 불가능한 모드를 드러냅니다. 신호처리에서는 측정 행렬의 영공간이 센서 배열이 감지하지 못하는 신호를 식별합니다. 화학에서는 화학양론 행렬의 영공간이 반응 네트워크의 보존 법칙을 제공합니다.
수치 안정성을 위해 이 계산기는 가우스 소거 중 부분 피벗팅을 사용하고, 절댓값이 1e-10보다 작은 값은 0으로 처리합니다. 덕분에 수업이나 공학 문제에서 흔한 정수·유리수 행렬에도 안정적으로 동작합니다. 정수, 소수, 소수로 표현한 분수 등 어떤 숫자든 입력하면, 계산기는 즉시 랭크, 널리티, 그리고 완전한 영공간 기저벡터를 반환합니다.
영공간 예시
서로 다른 행렬 형태와 영공간 차원을 보여주는 네 가지 예시입니다.
| 행렬 | 영공간 기저 | 설명 |
|---|---|---|
| 2×3: [[1,2,3],[4,5,6]] | v1 = [1, −2, 1] | 랭크 2, 널리티 1. 자유변수 하나가 기저벡터 하나를 만듭니다. 검산: 1·1 + 2·(−2) + 3·1 = 0, 그리고 4·1 + 5·(−2) + 6·1 = 0. |
| 3×3 Identity [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] | 자명함(영벡터만) | 완전 랭크 행렬: rank = 3, nullity = 0. Ix = 0의 유일한 해는 x = 0입니다. |
| 3×3 rank-deficient: [[1,2,3],[2,4,6],[1,1,2]] | v1 = [−1, −1, 1] | 랭크 2, 널리티 1. 1행과 2행은 선형종속입니다(2행 = 2×1행). RREF에서 pivot 열은 0과 1, 자유 열은 2가 되며, 역대입으로 v = [−1, −1, 1]을 얻습니다. |
| 2×2 zero matrix [[0,0],[0,0]] | v1 = [1,0], v2 = [0,1] | 랭크 0, 널리티 2. 모든 벡터가 Ax = 0을 만족하므로 R² 전체가 영공간이며, 표준기저가 그대로 영공간의 기저입니다. |
영공간 계산기 사용법
- 크기 버튼으로 행렬 차원(행 × 열)을 선택합니다. 2×2부터 4×4까지, 2×3이나 3×4 같은 비정방 행렬도 가능합니다.
- 그리드에 행렬 원소를 입력합니다. 각 칸에는 소수와 음수를 포함한 임의의 실수를 넣을 수 있습니다. 빈칸은 오류를 발생시킵니다.
- 영공간 계산을 클릭합니다. 결과에는 랭크, 널리티, 그리고 영공간의 모든 기저벡터가 표시됩니다.
- 예제 불러오기 버튼으로 대표적인 예시를 미리 채울 수 있습니다. 1차원 영공간을 갖는 2×3 행렬 또는 랭크 결손 3×3 행렬입니다.
- 초기화를 누르면 현재 행렬 크기는 유지한 채 모든 칸을 지울 수 있습니다. 크기 선택기를 바꿔 다른 차원으로 새로 시작할 수도 있습니다.
영공간 계산기 FAQ
행렬의 영공간이란 무엇인가요?
행렬 A의 영공간은 Ax가 영벡터가 되는 모든 벡터 x의 집합입니다. 이는 선형변환 A가 입력공간의 어떤 방향을 0으로 눌러 버리는지를 나타냅니다. 영공간은 항상 부분공간이며, 영벡터를 포함하고 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있습니다. 그 차원인 널리티는 변환 과정에서 A가 얼마나 많은 정보를 잃는지 보여줍니다.
가우스-조던 소거는 어떻게 영공간을 찾나요?
이 알고리즘은 행 연산으로 A를 기약 행 사다리꼴(RREF)로 바꿉니다. RREF에서는 pivot 열과 자유 열을 쉽게 구분할 수 있습니다. 각 자유변수(비pivot 열)에 대해 그 변수를 1로 두고 나머지는 0으로 한 뒤 pivot 변수를 역대입하면 영공간의 기저벡터 하나가 나옵니다. 이런 벡터들의 span이 전체 영공간입니다.
영공간이 자명하다는 뜻은 무엇인가요?
자명한 영공간은 영벡터만 포함합니다. 보통 행렬이 완전 열랭크여서 모든 열이 pivot 열이고 자유변수가 없을 때 발생합니다. 방정식 Ax = 0의 유일한 해는 x = 0입니다. 정방행렬의 영공간이 자명하면 그 행렬은 가역이고, 비정방행렬의 영공간이 자명하면 어떤 b에 대해서도 Ax = b는 많아야 하나의 해만 가집니다.
랭크-널리티 정리는 무엇인가요?
랭크-널리티 정리는 m × n 행렬 A에 대해 rank(A) + nullity(A) = n, 여기서 n은 열의 개수라고 말합니다. 랭크는 열공간의 차원(선형독립인 열의 수)이고, 널리티는 영공간의 차원입니다. 둘은 서로 보완적이어서 랭크가 커질수록 널리티는 작아지고 그 반대도 성립합니다. 이 정리는 선형사상과 연립방정식을 이해하는 데 기본이 됩니다.
비정방행렬에도 영공간이 있나요?
네. 행렬의 열 수가 랭크보다 크면 비자명한 영공간이 존재합니다. 열 수가 행 수보다 많은 가로로 긴 행렬(m < n)은 랭크가 최대 m이므로 널리티 ≥ n − m > 0가 되어 비자명한 영공간이 보장됩니다. 행 수가 열 수보다 많은 세로로 긴 행렬도 열이 선형독립이면 자명한 영공간을 가질 수 있습니다.
왜 기저벡터에 소수가 나타나나요?
행렬에 정수가 아닌 값이 있거나 역대입 과정에서 분수가 생기면 영공간 기저벡터에 소수 성분이 나타납니다. 이는 수학적으로 올바릅니다. 영공간은 정수가 아니라 실수 위에서 정의되기 때문입니다. 기저벡터는 0이 아닌 상수배를 해도 여전히 유효하므로, 정수 형태를 원하면 분모의 최소공배수를 곱하면 됩니다.