텐서곱 계산기

벡터 문맥에서 텐서곱은 외적이라고도 부르며, 두 벡터로부터 행렬을 만드는 선형대수의 기본 연산입니다. m개의 성분을 가진 벡터 u와 n개의 성분을 가진 벡터 v가 있으면, 그 텐서곱 u ⊗ v는 m × n 행렬이 되며 i행 j열의 원소는 uᵢ와 vⱼ의 곱입니다. 이는 두 벡터를 하나의 스칼라로 줄이는 내적과 뚜렷이 대비되며, 3차원 벡터에만 적용되어 다른 벡터를 반환하는 외적과도 다릅니다. 수학적으로 u = [u₁, u₂, …, uₘ], v = [v₁, v₂, …, vₙ]라면 유효한 모든 (i, j)에 대해 (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ입니다. 계산 복잡도는 O(mn)이므로, 비교적 큰 벡터에도 효율적입니다. 텐서곱은 쌍선형이어서 어느 한 벡터를 같은 비율로 스케일하면 결과도 같은 비율로 스케일되고, 벡터 덧셈에 대해 분배됩니다. 텐서곱은 교환법칙이 성립하지 않습니다. u ⊗ v와 v ⊗ u는 일반적으로 다른 행렬이며, 하나는 m × n, 다른 하나는 n × m입니다(m = n이고 특별한 관계가 있는 경우는 제외). 첫 번째 벡터가 행을, 두 번째 벡터가 열을 결정하기 때문입니다. 이러한 비대칭성은 순서 자체가 물리적 또는 의미적 의미를 갖는 물리학이나 머신러닝에서 특히 중요합니다. 양자역학에서 텐서곱은 복합계를 설명하는 데 필수적입니다. 두 양자계를 결합하면 복합계의 상태 공간은 각 상태 공간의 텐서곱이 됩니다. 예를 들어 두 큐비트 시스템은 4차원 상태 공간을 가지며, 이는 두 개의 2차원 큐비트 공간의 텐서곱입니다. 양자 얽힘은 복합 상태를 개별 상태의 단순한 텐서곱으로 쓸 수 없을 때 정확히 나타납니다. 머신러닝과 데이터 과학에서는 텐서곱(그리고 그 고차 일반화인 텐서)이 Transformer의 어텐션 메커니즘, 추천 시스템의 특성 교차 연산, 이미지 처리의 분리 가능 합성을 뒷받침합니다. 예를 들어 가우시안 블러 커널은 1차원 수평 가우시안 필터와 1차원 수직 가우시안 필터의 텐서곱으로 볼 수 있으며, 이를 통해 효율적인 분리 계산이 가능합니다. 신호 처리에서는 다차원 필터를 1차원 필터의 텐서곱으로 표현하면 계산량을 크게 줄일 수 있습니다. 이 계산기가 생성하는 평탄화 벡터 표현은 완전연결 신경망 층처럼 후속 연산이 1차원 입력을 기대할 때 특히 유용합니다.