파스칼의 삼각형 계산기 - 이항계수 생성

파스칼의 삼각형은 수학에서 가장 유명한 구조 중 하나입니다. 앞 행의 바로 위에 있는 두 항의 합으로 각 항이 정해지는 삼각형 배열입니다. 삼각형은 꼭대기의 1(행 0)에서 시작하며, 이후 각 행은 인접한 두 수를 더해 만들어집니다. 행 1은 [1, 1], 행 2는 [1, 2, 1], 행 3은 [1, 3, 3, 1], 행 4는 [1, 4, 6, 4, 1]입니다. 각 항은 이항계수로, C(n, k) 또는 “n choose k”라고 쓰며 n! / (k! × (n−k)!)로 정의됩니다. 행 n의 k번째 항(0부터 셈)은 C(n, k)와 같고, 이는 순서를 고려하지 않고 n개 중 k개를 고르는 경우의 수입니다. 조합론과의 이런 연결 덕분에 파스칼의 삼각형은 조합 수를 빠르게 찾는 표이자 확률론의 기본 도구가 됩니다. 대수학에서 이항정리는 (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ(k는 0부터 n까지)라고 말합니다. 이 전개의 계수는 바로 파스칼의 삼각형의 n번째 행에 있는 항들입니다. (x + 1)⁵를 전개하면 계수 1, 5, 10, 10, 5, 1이 나오는데, 이는 정확히 행 5입니다. 그래서 파스칼의 삼각형은 다항식 전개와 이항분포 확률 계산에 매우 유용합니다. 이 삼각형에는 놀라운 패턴도 많이 숨겨져 있습니다. 얕은 대각선의 합은 피보나치 수열이 됩니다. 각 행은 11의 거듭제곱도 나타내며, 행 0은 1, 행 1은 11, 행 2는 121, 행 3은 1331, 행 4는 14641입니다. 하키 스틱 항등식은 한 대각선의 항들의 합이 그 대각선 끝점 바로 아래의 항과 같다고 말합니다. 홀수와 짝수를 서로 다른 색으로 칠하면 시어핀스키 삼각형으로 알려진 프랙털 패턴이 나타납니다. 순수수학을 넘어, 파스칼의 삼각형은 확률론(이항분포와 음의 이항분포), 조합론(격자 경로, 부분집합, 중복조합), 정수론(소수 행에서 가장자리가 아닌 항이 행 번호로 모두 나누어지는 성질), 컴퓨터 과학(조합의 동적 계획법 알고리즘), 금융 수학(이항 옵션 가격 모델)에서도 쓰입니다. 이 계산기는 최대 20행을 즉시 생성하고, 원하는 특정 행을 강조하며, 삼각형과 선형 표시를 전환해 필요한 수준으로 구조를 살펴볼 수 있게 해 줍니다.