조건수 계산기 - 행렬 조건과 안정성

가역 행렬 A의 조건수는 κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖로 정의되며, 여기서 ‖·‖는 호환되는 임의의 행렬 노름입니다. 이는 선형 시스템 A·x = b의 해 x에서 상대 오차가 오른쪽 항 b의 상대 오차로 얼마나 증폭될 수 있는지를 나타냅니다. 직관적으로 조건수가 작은 행렬은 조건이 좋아서 입력의 작은 오차가 출력의 작은 오차로 끝납니다. 조건수가 큰 행렬은 조건이 나빠서 데이터에 있는 아주 미세한 부동소수점 반올림 오차만으로도 해가 크게 틀어질 수 있습니다. 이 계산기는 2 × 2 및 3 × 3 행렬과 가장 널리 쓰이는 세 가지 행렬 노름을 지원합니다. 1-노름은 절댓값 열합의 최대값으로, ‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ|입니다. 무한노름은 절댓값 행합의 최대값으로, ‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ|입니다. Frobenius 노름은 모든 원소 제곱합의 제곱근으로, ‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²)이며 유클리드 벡터 노름의 행렬 버전입니다. 2 × 2 행렬의 역행렬은 해석적으로 A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]]로 계산됩니다. 3 × 3 행렬에는 여인수(수반행렬) 공식을 사용합니다. 조건수는 수치 선형대수의 핵심 개념입니다. 컴퓨터에서 LU 분해나 가우스 소거법으로 선형 시스템을 풀 때 계산된 해의 상대 오차는 대략 κ(A) · ε로 상계되며, ε는 기계 정밀도입니다(IEEE-754 배정밀도에서 약 10⁻¹⁶). 따라서 조건수가 10⁶이면 반올림 오차만으로 최대 6자리의 정확도를 잃을 수 있습니다. 대략적인 기준으로 κ < 100은 조건이 좋은 편, 100에서 1000 사이는 중간, 10³을 넘으면 조건이 나빠서 주의가 필요합니다. 중요한 주의점도 있습니다. 조건수는 선택한 노름에 따라 달라지므로 서로 다른 노름으로 계산한 값은 직접 비교할 수 없지만, 보통은 작은 상수 배 이내입니다. 특이값에 기반한 2-노름(스펙트럴 노름) 조건수는 이론적으로 가장 자연스럽지만 계산 비용이 더 크고 여기서는 제공하지 않습니다. 특이행렬은 행렬식이 정확히 0이며 역행렬이 없어서 조건수는 무한대입니다. 계산기는 이 경우를 명확히 감지합니다. 작은 선형 시스템을 수치적으로 안전하게 역행렬화할 수 있는지 확인할 때, 기초 수치해석을 가르칠 때, 또는 더 큰 시뮬레이션이나 머신러닝 파이프라인에서 시스템을 풀기 전에 빠르게 점검할 때 이 도구를 사용하세요.