점곱 계산기

점곱은 스칼라곱 또는 내적이라고도 하며, 벡터 수학에서 가장 기본적인 연산 중 하나입니다. 두 벡터 a와 b가 주어졌을 때 점곱은 대응하는 성분들의 곱을 모두 더한 값입니다. 2D 벡터 a = (a₁, a₂)와 b = (b₁, b₂)의 공식은 a·b = a₁b₁ + a₂b₂입니다. 3D 벡터 a = (a₁, a₂, a₃)와 b = (b₁, b₂, b₃)의 경우 공식은 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃로 확장됩니다. 외적과 달리 결과는 하나의 실수, 즉 스칼라이므로 점곱은 스칼라곱이라고도 불립니다. 점곱의 기하학적 해석도 매우 중요합니다. a·b = |a| × |b| × cos(θ)이며, 여기서 |a|와 |b|는 각각의 벡터 크기이고 θ는 두 벡터 사이의 각도입니다. 두 벡터 중 어느 것도 영벡터가 아니라면 θ = arccos(a·b / (|a| × |b|))로 임의의 두 벡터 사이 각도를 계산할 수 있습니다. 이 점곱 계산기는 이 공식을 사용해 수치 점곱 값과 함께 각도를 도 단위로 표시합니다. 점곱의 부호와 크기는 유용한 정보를 담고 있습니다. 점곱이 0이면 벡터는 수직(직교)이며, 90° 각도를 이루는 방향을 가리킨다는 뜻입니다. 양의 점곱은 두 벡터 사이의 각도가 예각(90°보다 작음)임을 나타내고, 음의 점곱은 둔각(90°보다 큼)임을 나타냅니다. 두 벡터가 평행하고 같은 방향을 가리킬 때 점곱은 두 벡터 크기의 곱과 같습니다. 점곱의 응용 분야는 매우 넓습니다. 물리학에서는 일이 W = F·d, 즉 힘 벡터와 변위 벡터의 점곱으로 계산됩니다. 컴퓨터 그래픽스에서는 점곱이 조명 계산(램버트 코사인 법칙)에 사용되어 표면이 얼마나 밝게 비춰져야 하는지 결정합니다. 머신러닝에서는 점곱이 특징 벡터 간 유사도 계산의 기반이며 신경망 연산의 핵심입니다. 신호 처리에서는 두 신호의 상관관계를 시간 창에 걸친 점곱으로 계산합니다. 점곱 계산기는 입력된 두 벡터의 크기도 계산합니다. 벡터의 크기(유클리드 노름)는 성분 제곱합의 제곱근입니다. 2D에서는 |a| = √(a₁² + a₂²), 3D에서는 |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)입니다. 단위벡터의 크기는 1이며, 두 단위벡터의 점곱은 두 벡터 사이 각도의 코사인과 직접 같습니다. 벡터를 정규화해 단위벡터로 만들려면 각 성분을 해당 벡터의 크기로 나누면 됩니다. 점곱을 이해하는 것은 선형대수, 다변수 미적분, 물리학 또는 컴퓨터 과학을 공부하는 누구에게나 중요합니다. 이 계산기는 즉각적인 수치 결과와 벡터 관계 분류를 제공하므로 숙제, 시험 준비, 물리 문제 풀이, 공학 응용에 유용합니다.