이항계수 계산기

이항계수 C(n, k)는 “n choose k” 또는 기호 ⁿCₖ로도 쓰이며, 선택 순서를 고려하지 않을 때 서로 다른 n개 항목에서 정확히 k개를 고르는 방법의 수입니다. 조합론의 가장 기본적인 수량 중 하나이며 확률론, 대수, 통계, 컴퓨터 과학 전반에 등장합니다. 공식은 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) 입니다. 느낌표는 팩토리얼을 뜻하며 n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1이고, 관례상 0! = 1입니다. 예를 들어 C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10이므로 5개 중 2개를 고르는 방법은 10가지입니다. 이항계수는 파스칼의 삼각형의 항이기도 합니다. 파스칼의 삼각형에서 각 수는 바로 위 두 수의 합이며, 0부터 세면 n행 k열의 항이 정확히 C(n, k)입니다. 이는 파스칼 항등식 C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)에서 나옵니다. 어떤 항목을 포함하면 n−1개 중 k−1개를, 제외하면 n−1개 중 k개를 고르는 문제가 됩니다. “이항계수”라는 이름은 이항정리에서 왔습니다. (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k), k는 0부터 n까지입니다. 전개식의 각 항 xᵏ y^(n−k) 앞 계수가 C(n, k)입니다. 예를 들어 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³이고 계수 1, 3, 3, 1은 C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3)입니다. 확률에서는 이항계수가 이항분포에 나타납니다. 이 분포는 성공 확률 p를 가진 독립 베르누이 시행 n회에서 성공 횟수를 모델링합니다. 정확히 k번 성공할 확률은 C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k)입니다. 포커 패, 복권, 위원회 선정, 1의 개수가 고정된 이진 문자열 같은 조합 문제는 모두 이항계수 계산으로 이어집니다. n과 k가 크면 팩토리얼을 직접 계산할 때 정수 오버플로가 발생할 수 있습니다. 효율적인 알고리즘은 C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1) (i는 0부터 k−1까지)라는 곱셈 공식을 반복적으로 사용해 중간 값을 작게 유지합니다. 이 계산기는 정확한 정수 연산으로 실용적인 입력에 대해 정밀한 결과를 반환합니다.